Równanie Kleina-Gordona

Mechanika kwantowa

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Równanie Schrödingera Wstęp Aparat matematyczny Tło Mechanika klasyczna  · Stara teoria kwantów  · Interferencja  · Notacja Diraca  · Hamiltonian Koncepcje podstawowe Stan kwantowy  · Funkcja falowa  · Superpozycja  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie Doświadczenia Doświadczenie Younga  · Doświadczenie Davissona-Germera  · Doświadczenie Francka-Hertza  · Doświadczenie Sterna-Gerlacha  · Eksperymenty testujące twierdzenie Bella  · Doświadczenie Poppera  · Kot Schrödingera  · Problem testowania bomb Elitzura-Vaidmana  · Gumka kwantowa Sformułowania Obraz Schrödingera  · Obraz Heisenberga  · Obraz Diraca  · Mechanika macierzowa  · Suma po historiach Równania Równanie Schrödingera  · Równanie Pauliego  · Równanie Kleina-Gordona  · Równanie Diraca  · Wzór Rydberga Interpretacje de Broglie'a-Bohma  · Świadomość wywyołuje kolaps  · Spójne historie kwantowe  · Kopenhaska  · Statystyczna  · Zmiennych ukrytych  · Wielu światów  · Logika kwantowa  · Popularna  · Stochastyczna  · Transakcjonalna Zagadnienia zaawansowane Informatyka kwantowa  · Teoria rozpraszania  · Kwantowa teoria pola  · Chaos kwantowy Znani uczeni Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Równanie Kleina-Gordona – relatywistyczna wersja (opisująca skalarne (lub pseudoskalarne) cząstki o zerowym spinie) równania Schrödingera.

Równanie to można zapisać w formie zbliżonej do równania Schrödingera:

$-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi = c^2 \left( -\hbar^2\Delta + m_0^2 c^2 \right) \psi$.

Częściej jednak spotyka się zapis:

$\left(\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2}\right)\psi(\vec{r},t) = 0$.

W zapisie relatywistycznym równanie to przybiera postać:

$\left( \Box - \frac{m_0^2c^2}{\hbar^2} \right) \psi = 0,$

gdzie $\Box=-g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$.

Najprostszym rozwiązaniem równaniem Kleina-Gordona jest fala płaska $\psi \sim e^{ik^j x^j-i\omega_k t}$ dająca relatywistyczną zależność energii $\epsilon_k =\hbar \omega_k$ od pędu $p^i=\hbar k^i$

$\epsilon_k = \pm c \sqrt{\vec{p}^2 +m_0^2 c^2}.$

Równanie to jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, opisuje cząstkę o spinie $s=0$ (cząstkę bezspinową, czyli bozon). Równania Diraca daje się wyprowadzić jako konsekwencja równania Kleina-Gordona dla cząstki o spinie $s=\frac{1}{2}$ (czyli dla fermionu). Rozwiązanie z ujemną energią dla równania Kleina-Gordona nie ma bezpośredniego sensu fizycznego. Jest to spowodowane błędnym założeniem, że relatywistyczne równania falowe mogą opisywać dynamikę relatywistycznych cząstek. Jedynym możliwym sposobem uniknięcia tych problemów jest przyjęcie, że relatywistyczne równania falowe opisują dynamikę pól kwantowych i tym samym wszystkie relatywistyczne teorie kwantowe można zrozumieć jedynie na poziomie kwantowej teorii pola.

Zastosowania: Wzrost masy elektronu w polu fali elektromagnetycznej

Równanie Kleina-Gordona dla elektronu oddziałującego z polem elektromagnetycznym uzyskuje się poprzez zastąpienie pochodnej cząstkowej tzw. pochodną niezmienniczą względem transformacji cechowania, tzn.:

$\partial_{\mu}\to \partial_{\mu}-i e A_{\mu} \equiv D_{\mu},$

gdzie $A_{\mu}$ to relatywistyczny potencjał elektromagnetyczny.

Równanie przybiera wtedy postać:

$D_\mu D^\mu \psi = -(\partial_t - ie A_0)^2 \psi +\sum_{i} (\partial_i - ie A_i)^2 \psi = \frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2} \psi.$

Niech dla płaskiej fali elektromagnetycznej

$\frac{}{} { A}(t)=A_0 e^{-i \omega t+ ik x},$

wtedy pole elektryczne fali dane jest przez

$E(t) = -\frac{\partial A}{\partial t}.$

Rozwijając pochodną niezmienniczą, łatwo zauważyć, że generuje ona wyraz mający postać energii spoczynkowej elektronu (stałej w równaniu). Interpretując ten wyraz jako poprawkę do masy elektronu, otrzymujemy:

$\frac{M^2 c^2}{\hbar^2}= \frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2} + e^2 |A_0|^2.$

Zauważając, że gęstość energii pola elektromagnetycznego jest wtedy:

$|E|^2 =\hbar \omega \rho,$

gdzie $\rho$ to gęstość fotonów, otrzymujemy:

$M^2 = {m_0}^2 + \frac {\hbar^3 e^2 \rho}{\omega c^2},$

czyli wzrost masy elektronu w silnym polu elektromagnetycznym.

Periodyczna kreacja i anihilacja par elektron-pozytron

Zakładając że rozwiązania o ujemnej energii mają jednak fizyczne znaczenie już z równania Kleina-Gordona podobnie jak z równania Diraca można wywnioskować istnienie antycząstek, które powodują znikanie i powstawanie prawdopodobienstwa elektronu tzn. jego anihilacje i kreacje.

Rozważmy równanie Kleina-Gordona w jednym wymiarze w nieskończonej studni potecjalu:

$\frac{\partial{}^2}{\partial x^2}\psi(x,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}\psi(x,t) = \frac{m_0^2c^2}{\hbar^2} \psi(x,t)$

$\psi(0,t)= 0$

$\psi(a,t) = 0$

z rozwiązaniami spełniajacymi warunki znikania funkcji falowej na nieskończonych ścianach studni

$\psi_n(x,t)=\sin(\pi x n/a) e^{- i E_n t}$

$E_n = \pm c \sqrt{\frac{\pi^2 n^2}{c^2 a^2} +m_0^2 c^2}.$

Ponieważ istnieją też rozwiązania o ujemnej energii z rozwiązań o jednakowej wartości bezwzględnej z energii można złożyć superpozycje która periodycznie znika na odcinku całej studni

$\phi_n(x,t)=\sin(\pi x n/a)e^{+ i|E_n| t}- \sin(\pi x n/a)e^{- i|E_n| t}= 2 i \sin(\pi x n/a) \sin (|E_n| t)$

Wynik tez można interpretować że w nieskończonej studni potencjału następuje periodyczna anihilacja i spontaniczna kreacja prawdopodobieństwa istnienia materii z częstością minimum ponad połowy Zitterbewegung a więc przewiduje on istnienie cząstek które powodują znikanie lub anihilacje gęstosci prawdopodobienstwa elektronu a więc antycząstek.