Równanie Kleina-Gordona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Stan kwantowy  · Funkcja falowa  · Superpozycja  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie
Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Równanie Kleina-Gordona – relatywistyczna wersja (opisująca skalarne (lub pseudoskalarne) cząstki o zerowym spinie) równania Schrödingera.

Równanie to można zapisać w formie zbliżonej do równania Schrödingera:

-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi = c^2 \left( -\hbar^2\Delta + m_0^2 c^2 \right) \psi.

Częściej jednak spotyka się zapis:

\left(\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2}\right)\psi(\vec{r},t) = 0.

W zapisie relatywistycznym równanie to przybiera postać:

\left( \Box - \frac{m_0^2c^2}{\hbar^2} \right) \psi = 0,

gdzie \Box=-g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}.

Najprostszym rozwiązaniem równaniem Kleina-Gordona jest fala płaska \psi \sim e^{ik^j x^j-i\omega_k t} dająca relatywistyczną zależność energii \epsilon_k =\hbar \omega_k od pędu p^i=\hbar k^i

\epsilon_k = \pm c \sqrt{\vec{p}^2 +m_0^2 c^2}.

Równanie to jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, opisuje cząstkę o spinie s=0 (cząstkę bezspinową, czyli bozon). Równania Diraca daje się wyprowadzić jako konsekwencja równania Kleina-Gordona dla cząstki o spinie s=\frac{1}{2} (czyli dla fermionu). Rozwiązanie z ujemną energią dla równania Kleina-Gordona nie ma bezpośredniego sensu fizycznego. Jest to spowodowane błędnym założeniem, że relatywistyczne równania falowe mogą opisywać dynamikę relatywistycznych cząstek. Jedynym możliwym sposobem uniknięcia tych problemów jest przyjęcie, że relatywistyczne równania falowe opisują dynamikę pól kwantowych i tym samym wszystkie relatywistyczne teorie kwantowe można zrozumieć jedynie na poziomie kwantowej teorii pola.

Zastosowania: Wzrost masy elektronu w polu fali elektromagnetycznej[edytuj | edytuj kod]

Równanie Kleina-Gordona dla elektronu oddziałującego z polem elektromagnetycznym uzyskuje się poprzez zastąpienie pochodnej cząstkowej tzw. pochodną niezmienniczą względem transformacji cechowania, tzn.:

\partial_{\mu}\to \partial_{\mu}-i e A_{\mu} \equiv D_{\mu},

gdzie A_{\mu} to relatywistyczny potencjał elektromagnetyczny.

Równanie przybiera wtedy postać:

D_\mu D^\mu \psi = -(\partial_t - ie A_0)^2 \psi +\sum_{i} (\partial_i - ie A_i)^2 \psi = \frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2} \psi.

Niech dla płaskiej fali elektromagnetycznej

\frac{}{} { A}(t)=A_0 e^{-i \omega t+ ik x},

wtedy pole elektryczne fali dane jest przez

E(t) = -\frac{\partial A}{\partial t}.

Rozwijając pochodną niezmienniczą, łatwo zauważyć, że generuje ona wyraz mający postać energii spoczynkowej elektronu (stałej w równaniu). Interpretując ten wyraz jako poprawkę do masy elektronu, otrzymujemy:

\frac{M^2 c^2}{\hbar^2}= \frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2} + e^2 |A_0|^2.

Zauważając, że gęstość energii pola elektromagnetycznego jest wtedy:

|E|^2 =\hbar \omega \rho,

gdzie \rho to gęstość fotonów, otrzymujemy[1]:

M^2 = {m_0}^2 + \frac {\hbar^3 e^2 \rho}{\omega c^2},

czyli wzrost masy elektronu w silnym polu elektromagnetycznym.

Periodyczna kreacja i anihilacja par elektron-pozyton[edytuj | edytuj kod]

Zakładając że rozwiązania o ujemnej energii mają jednak fizyczne znaczenie już z równania Kleina-Gordona podobnie jak z równania Diraca można wywnioskować istnienie antycząstek, które powodują znikanie i powstawanie prawdopodobienstwa elektronu tzn. jego anihilacje i kreacje.

Rozważmy równanie Kleina-Gordona w jednym wymiarze w nieskończonej studni potecjalu:

\frac{\partial{}^2}{\partial x^2}\psi(x,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}\psi(x,t)  = \frac{m_0^2c^2}{\hbar^2} \psi(x,t)
\psi(0,t)= 0
\psi(a,t) = 0

z rozwiązaniami spełniajacymi warunki znikania funkcji falowej na nieskończonych ścianach studni

\psi_n(x,t)=\sin(\pi x n/a) e^{- i E_n t}
E_n = \pm c \sqrt{\frac{\pi^2 n^2}{c^2 a^2} +m_0^2 c^2}.

Ponieważ istnieją też rozwiązania o ujemnej energii z rozwiązań o jednakowej wartości bezwzględnej z energii można złożyć superpozycje która periodycznie znika na odcinku całej studni

\phi_n(x,t)=\sin(\pi x n/a)e^{+ i|E_n| t}- \sin(\pi x n/a)e^{- i|E_n| t}= 2 i \sin(\pi x n/a) \sin (|E_n| t)

Wynik tez można interpretować że w nieskończonej studni potencjału następuje periodyczna anihilacja i spontaniczna kreacja prawdopodobieństwa istnienia materii z częstością minimum ponad połowy Zitterbewegung a więc przewiduje on istnienie cząstek które powodują znikanie lub anihilacje gęstosci prawdopodobienstwa elektronu a więc antycząstek.

Nierozpływające się paczki falowe[edytuj | edytuj kod]

W odróżnieniu od równania Schrödingera równanie Kleina-Gordona przewiduje podobne do paczek trojańskich oraz gausonów nierozpływające się paczki falowe w wolnej przestrzeni.

Skonstruujmy w jednym wymiarze ogólne rozwiązanie równania Kleina-Gordona sumując poszczególne fale płaskie z obwiednią f :

\phi(x,t) = \int dk f(k) e^{ik x-i\omega_k t}

i załóżmy że obwiednia f jest dobrze zlokalizowana wokół pewnego k_0 a więc jest np. funkcją Gaussa z maksimum w k_0

f(k)=g(k-k_0) = A e^{-(k-k_0)^2 /\delta k^2 }

tzn. istotny wkład do sumy wnoszą jedynie fale z wektorami falowymi wokół k_0.

W granicy ultra-relatywistycznej możemy więc założyć

\hbar k \approx \hbar k_0  >> m_0 c

tzn. że energia kinetyczna jest dużo większa od spoczynkowej i wtedy

\omega_k \approx  \pm c k

Dla tej paczki równanie Kleina-Gordona staje się więc poprostu równaniem falowym bez masy:

\frac{\partial{}^2}{\partial x^2}\phi(x,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}\phi(x,t)  = 0

Z ogólnymi nierozpływającymi się rozwiązaniami

\phi(x,t) = \Gamma(x \pm vt)
v \approx c

Dla obwiedni Gaussa otrzymujemy więc jako rozwiązania nierozpływające się Gaussowskie paczki falowe:

\phi(x,t) = B e^{i k_0 (x-vt) } e^{-(x \pm v t)/  \delta x^2}.

Jest to zanik charakterystycznego dla nierelatywistycznej mechaniki kwantowej rozpływania się paczki kiedy to \delta x stale powiększa się podczas ruchu[2].


Przypisy

  1. J.H. Eberly, Electron Self-Energy in Intense laser Field”, Physical Review 145, 1035-1040 (1966).
  2. Q. Su, B.A. Smetanko and R. Grobe, Relativistic suppression of wave packet spreading”, Optics Express 2, 277-281 (1998).