Równanie Kortewega-de Vries

Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe opisujące ruch fali w płytkiej wodzie w długim kanale, jak następuje:

$\ u_{t}+6u u_{x} +u_{xxx}=0$

Rozwiązanie solitonowe

Załóżmy tzw. niezmienniczość Galileusza rozwiązania $u$ tzn.

$\ u(x,t)= u(x- vt)$

Podstawiając

$\ y= x- vt$

redukujemu równanie cząstkowe do równania różniczkowego zwyczajnego

$\ -v u_{y}+6u u_{y} +u_{yyy}=0$

Całkując raz, otrzymujemy

$\ -v u +3 u^2 +u_{yy}=C$

Równanie to ma rozwiązanie ($C=0$)

$u(y)=\frac12\, v\, \mathrm{sech}^2\left[{\sqrt{v}\over 2}y\right]$

Powracając do orginalnych współrzędnych otrzymujemy rozwiązanie

$u(x,t)=\frac12\, v\, \mathrm{sech}^2\left[{\sqrt{v}\over 2}(x-v\,t)\right]$

Rozwiązanie to opisuje soliton o niezmiennym kształcie kwadratu funkcji $sech$ podobnym do funkcji Gaussa i poruszający sie ze stałą predkością $v$.