Równanie Kortewega-de Vries

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe opisujące ruch fali w płytkiej wodzie w długim kanale, jak następuje:

 \ u_{t}+6u u_{x} +u_{xxx}=0

Rozwiązanie solitonowe[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy tzw. niezmienniczość Galileusza rozwiązania u tzn.

 \ u(x,t)= u(x- vt)

Podstawiając

 \ y= x- vt

redukujemu równanie cząstkowe do równania różniczkowego zwyczajnego

  \ -v u_{y}+6u u_{y} +u_{yyy}=0

Całkując raz, otrzymujemy

  \ -v u +3 u^2 +u_{yy}=C

Równanie to ma rozwiązanie (C=0)

u(y)=\frac12\, v\, \mathrm{sech}^2\left[{\sqrt{v}\over 2}y\right]

Powracając do orginalnych współrzędnych otrzymujemy rozwiązanie

u(x,t)=\frac12\, v\, \mathrm{sech}^2\left[{\sqrt{v}\over 2}(x-v\,t)\right]

Rozwiązanie to opisuje soliton o niezmiennym kształcie kwadratu funkcji sech podobnym do funkcji Gaussa i poruszający sie ze stałą predkością v.