Równanie Sylvestera

Równanie Sylvestera - często spotykane w teorii sterowania równanie macierzowe mające postać:

$A X + X B = C\,$

gdzie $A,B,X,C\,$ to macierze o wymiarach $n \times n$.

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania

Korzystając z notacji iloczynu Kroneckera i operatora wektoryzacji $\operatorname{vec}$ powyższe równanie może być zapisane w postaci

$(I_n \otimes A + B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C\,$

gdzie $I_n\,$ jest macierzą jednostkową o rozmiarach $n \times n\,$. W takiej postaci równanie Sylvestera może być interpretowane jako układ liniowy o wymiarze $n^2 \times n^2$. (W przypadku poszukiwania rozwiazania numerycznego zapis równania w takiej formie nie jest zalecany ponieważ rozwiązanie równania w wersji układu liniowego jest niewydajne obliczeniowo i źle uwarunkowane).

Jeśli $A=ULU^{-1}\,$ i $B^T=VMV^{-1}\,$ są kanonicznymi formami Jordana macierzy $A\,$ i $B^T\,$, a $\lambda_i\,$ i $\mu_j\,$ są ich wartościami własnymi, można zapisać:

$I_n \otimes A + B^T \otimes I_n = (V\otimes U)(I_n \otimes L + M \otimes I_n)(V \otimes U)^{-1}$.

Ponieważ $(I_n \otimes L + M \otimes I_n)\,$ jest górną macierzą trójkątną z elementami na przekątnej $\lambda_i+\mu_j\,$, macierz po lewej stronie jest osobliwa wtedy i tylko wtedy gdy istnieje $i\,$ i $j\,$ takie, że $\lambda_i=-\mu_j\,$.

W ten sposób dowiedzione zostało, że równanie Sylvestera ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy macierze $A\,$ i $-B\,$ nie mają wspólnych wartości własnych.

Rozwiązanie numeryczne

Klasyczny algorytm rozwiązania numerycznego równania Sylvestera to algorytm Bartelsa-Stewarta, na który składa się przekształcenie macierzy $A\,$ i $B\,$ do postaci Schura (zob. rozkład Schura) za pomocą algorytmu QR a następnie rozwiązanie układu trójkątnego poprzez podstawienie w tył dla macierzy trójkątnej. Algorytm ten, którego wydajność obliczeniowa wynosi O$(n^3)\,$ operacji arytmetycznych wykorzystywany jest w pakietach oprogramowania LAPACK, Matlab and GNU Octave (w funkcji lyap).

Zobacz także

• równanie Lapunowa
• algebraiczne równanie Riccatiego