Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).

Założenia[edytuj | edytuj kod]

Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:

ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\varphi^2),\,

gdzie standardowo t jest współrzędną czasową, r radialną a θ i φ kątowymi (odpowiednio, zenitalną i azymutalną). Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie p jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ρ), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ν(r):

\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{1}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr},

funkcją λ(r):

e^{\lambda(r)} = \frac{1}{(1-2GM(r)/rc^2)},

a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu r a promieniem tej sfery, M(0)=0:

\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.

Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do


\frac{dP}{dr} = - \frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}
\left(1+\frac{P(r)}{\rho(r)c^2}\right)
\left(1+\frac{4{\pi}r^3P(r)}{M(r)c^2}\right)
\left(1-\frac{2GM(r)}{rc^2}\right)^{-1},
Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii: npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon[1]. Linia niebieska: "naga" (tj. bez skorupy) gwiazda kwarkowa o równaniu stanu opisywanym modelem "worka" MIT o stałej sprzężenia α=0.17, stałej worka B=60 MeV/fm3, masie kwarku dziwnego ms=200 MeV. Kropkami zaznaczono masy maksymalne (granice TOV).

równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).

Warunki brzegowe[edytuj | edytuj kod]

Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:

  • znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, p(R) = 0 (warunek ten wyznacza współrzędną r = R, czyli promień gwiazdy),
  • zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:

dla r≥R funkcja metryczna eν(r) = 1 - 2GM/rc2, gdzie M jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.

Masa grawitacyjna, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej[edytuj | edytuj kod]

Pamiętając o tym, że element objętości dV pomiędzy sferami o promieniach r oraz r + dr jest równy

dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,,

wyrażenie opisujące całkowitą masę grawitacyjną M gwiazdy przyjmuje następującą postać:

M=M(R)=\int_0^{R} \frac{4\pi\rho(r)r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,.

Liczba barionów w gwieździe

A_b=\int_0^{R} \frac{4\pi n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,

gdzie nb(r) jest gęstością barionową tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm3). Ab dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 1057 cząstek.

Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 1015 g/cm3 (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).

Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej Ab gwiazdy mnożonej przez masę barionu mbmn:

M_b=m_bA_b\,.

Różnica pomiędzy tymi masami jest analogiem energii wiązania, znanej z fizyki jądrowej:

E_b=M_b-M\,.

Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie M=1,4 masy Słońca jest związana energią Eb≈0,1M.

Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej[edytuj | edytuj kod]

W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. należy otrzymać numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ = const. Mamy wtedy:

M(r)=\frac{4}{3}\pi\rho r^3.

Korzystając z tego związku równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:

\frac{p(r)}{\rho} = \frac{\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}-\sqrt{1-2GM/Rc^2}}{3\sqrt{1-2GM/Rc^2}-\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}}\,

Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, pc = p(r=0). Warunek pc = ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:

\frac{2GM}{Rc^2}<\frac{8}{9}\, .

Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym "Physical Review" przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. "On Massive Neutron Cores"[2], jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934, pt. "Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"[3] oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"[4], w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.

Przypisy

  1. F. Douchin, P. Haensel, A unified equation of state of dense matter and neutron star structure, Astron. Astrophys. 380, 151 (2001)
  2. J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, On Massive Neutron Cores, Phys. Rev. 55, 374 (1939)
  3. R. C. Tolman, Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models, Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)
  4. R. C. Tolman, Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid, Phys. Rev. 55, 364 (1939)