Równanie ciągłości

Równanie ciągłości jest matematyczną postacią prawa zachowania dla ośrodków ciągłych.

Ma liczne zastosowania, np. do wyrażenia zasady zachowania ładunku, zasady zachowania masy.

Zasada zachowania ładunku

Równanie ciągłości dla elektromagnetyzmu jest matematyczną postacią zasady zachowania ładunku i wyraża się wzorem:

$\nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \varrho \over \partial t}$

czyli dywergencja gęstości prądu jest równa prędkości zmniejszania się gęstości ładunku .

Wzór powyższy można tłumaczyć w następujący sposób – różnice w gęstości prądu wypływającego z pewnej objętości powodują zmniejszania się gęstości ładunku w tej objętości.

Mówiąc prościej: źródłem prądu są poruszające się ładunki.

Tensorowe równanie ciągłości

Oznaczając $x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z\;$, oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego, z poprzedniego równania otrzymujemy:

${{\partial c\rho}\over{\partial ct}}+{{\partial J_x}\over{\partial x}}+{{\partial J_y}\over{\partial y}}+{{\partial J_z}\over{\partial z}}=0$,

co w notacji Einsteina można zapisać w postaci zwartej:

${{\partial J^{\mu}}\over{\partial x^{\mu}}}=0$

Zasada zachowania masy

W dynamice płynów lokalną zasadę zachowania masy wyraża wzór w postaci różniczkowej:

${\partial \varrho \over \partial t} + \nabla \cdot (\varrho \mathbf{u}) = 0$

gdzie:

ρ – gęstość płynu,

u – prędkość płynu,

t – czas.

Równanie ciągłości może być również zapisane w postaci całkowej

$\frac{d}{dt}\int_V \rho dV = -\int_V \nabla\cdot(\rho \vec{u})dV$

Bibliografia

• David J. Griffiths,Podstawy elektrodynamiki, PWN Warszawa 2006.