Równanie diofantyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.

Przykłady równań diofantycznych:

  • równanie x^{n}+y^{n}=z^{n}\,: dla n=2\, równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla n>2\, równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
  • równanie ax+by=c\, (a, b, c są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b dzieli c.
  • równanie 2^{x}+1=y^{2}\, ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)
  • równanie x^{y}=y^{x}\, ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x \neq y\,: x=2, y=4\, oraz x=4\ \mbox{,}\ y=2\,
  • równanie x^2-ny^2=1\, (n>0\,) zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli n\, jest kwadratem liczby naturalnej nie ma rozwiązań, jeżeli nie jest, ma ich nieskończenie wiele. Rozwiązania te się tablicuje w zależności od n\,.
  • równanie \tfrac{3^a \cdot k-1}{2^a \cdot k-1} = 2^x jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama, ma ono tylko jedno rozwiązanie, dla a=1, k=1 oraz x=1, co jest obrazem pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemy[edytuj | edytuj kod]

Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania:

  • Czy ma ono rozwiązania?
  • Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
  • Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]