Równanie liniowe

Równanie liniowe – równanie algebraiczne stopnia pierwszego.

Poniższe równania są liniowe:

• $2x-3y+1=3$
• $x+2y+1=2x$
• $-4x-3=x+1$
• $6x+y-z+1=3x+z$

Poniższe równania nie są liniowe:

• $2^x-x=3$
• $x^2-x-1=2x$
• $\sin x-2x-1=2$
• $|x|-1=0$
• $2x-3y^2+1=3$

Można też mówić o równaniu liniowym ze względu na wybrane niewiadome – oznacza to, że niewiadome te występują w równaniu w potędze 1. Na przykład równanie $2x-3y^2+1=3$ jest liniowe ze względu na $x,$ lecz nie jest liniowe ze względu na $y.$

Dowolne równanie liniowe o jednej niewiadomej daje się zapisać w postaci:

$ax=b,$

gdzie $x$ jest niewiadomą, $a$ i $b$ są pewnymi wiadomymi liczbami (lub innymi elementami ciała, w jakim rozpatruje się równanie). Jeśli $a\not=0,$ to takie równanie zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek (inaczej mówiąc, jedno rozwiązanie), który można znaleźć za pomocą wzoru $x=b/a.$ Jeśli $a=b=0,$ to wszystkie liczby (elementy ciała) są pierwiastkami tego równania. Jeśli $a=0, b\not=0,$ to równanie nie ma żadnego pierwiastka. Należy jednak powiedzieć, że jeżeli $a=0,$ to stopień tego równania jest nie pierwszym, a zerowym albo w ogóle nieistniejącym, co nie odpowiada podanej wyżej definicji równania liniowego; jednak często takie równania również są traktowane jako liniowe; zaś przyjmując powyższą definicję, można powiedzieć, że równanie liniowe z jedną niewiadomą zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek.

Równanie liniowe, które posiada więcej niż jedną niewiadomą, w typowym przypadku ma nieskończenie wiele rozwiązań i nigdy nie może być oznaczonym (czyli mieć dokładnie jedno rozwiązanie). Jakie przypadki przy jakich warunkach są możliwe, można badać, wychodząc z teorii układów równań liniowych, ponieważ równanie można rozpatrywać jako układ o jednym równaniu.

Zobacz też

• równanie algebraiczne
• układ równań liniowych
• funkcja liniowa
• nierówność liniowa