Równanie liniowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie liniowerównanie algebraiczne stopnia pierwszego.

Poniższe równania są liniowe:

  • 2x-3y+1=3
  • x+2y+1=2x
  • -4x-3=x+1
  • 6x+y-z+1=3x+z

Poniższe równania nie są liniowe:

  • 2^x-x=3
  • x^2-x-1=2x
  • \sin x-2x-1=2
  • |x|-1=0
  • 2x-3y^2+1=3

Można też mówić o równaniu liniowym ze względu na wybrane niewiadome – oznacza to, że niewiadome te występują w równaniu w potędze 1. Na przykład równanie 2x-3y^2+1=3 jest liniowe ze względu na x, lecz nie jest liniowe ze względu na y.

Dowolne równanie liniowe o jednej niewiadomej daje się zapisać w postaci:

ax=b,

gdzie x jest niewiadomą, a i b są pewnymi wiadomymi liczbami (lub innymi elementami ciała, w jakim rozpatruje się równanie). Jeśli a\not=0, to takie równanie zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek (inaczej mówiąc, jedno rozwiązanie), który można znaleźć za pomocą wzoru x=b/a. Jeśli a=b=0, to wszystkie liczby (elementy ciała) są pierwiastkami tego równania. Jeśli a=0, b\not=0, to równanie nie ma żadnego pierwiastka. Należy jednak powiedzieć, że jeżeli a=0, to stopień tego równania jest nie pierwszym, a zerowym albo w ogóle nieistniejącym, co nie odpowiada podanej wyżej definicji równania liniowego; jednak często takie równania również są traktowane jako liniowe; zaś przyjmując powyższą definicję, można powiedzieć, że równanie liniowe z jedną niewiadomą zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek.

Równanie liniowe, które posiada więcej niż jedną niewiadomą, w typowym przypadku ma nieskończenie wiele rozwiązań i nigdy nie może być oznaczonym (czyli mieć dokładnie jedno rozwiązanie). Jakie przypadki przy jakich warunkach są możliwe, można badać, wychodząc z teorii układów równań liniowych, ponieważ równanie można rozpatrywać jako układ o jednym równaniu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]