Równanie różniczkowe Bessela zmodyfikowane

Równanie różniczkowe Bessela zmodyfikowane (ang. modified Bessel equation) – równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach wyrażane w postaci:

$z^{2}{\frac {d^{2}f(z)}{dx^{2}}}+z{\frac {df(z)}{dx}}-(z^{2}+\nu ^{2})f(z)=0,$

gdzie $z$ jest zmienną zespoloną. Parametr rzeczywisty $\nu$ nazywa się czasami rzędem zmodyfikowanego równania Bessela (nie mylić z rzędem równania różniczkowego !). Rozwiązaniami powyższego równania są tzw. zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego i drugiego rodzaju argumentu zespolonego $z{:}$

$I_{\nu }(z),$

$K_{\nu }(z).$

W przypadku, gdy zmienna niezależna w zmodyfikowanym równaniu Bessela jest rzeczywista, mamy:

$x^{2}{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}+x{\frac {df(x)}{dx}}-(x^{2}+\nu ^{2})f(x)=0,$

a rozwiązaniami tego równania są zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego i drugiego rodzaju argumentu rzeczywistego $x{:}$

$I_{\nu }(x),$

$K_{\nu }(x).$

Czasami niezbyt poprawnie zmodyfikowane funkcje Bessela nazywa się funkcjami Bessela urojonego argumentu.

Bibliografia

• G.N. Watson: A Traetise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Olver F.W., Maximin L.C.: Bessel Functions.
• Lozier D.M., et al.: NIST Hanbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva 1971.
• Korn G.A., Korn T.M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.