Równanie różniczkowe Clairauta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe Clairautarównanie różniczkowe postaci:

y=xy'+f(y')\,

O funkcjach y oraz f zakładamy, że są różniczkowalne w pewnych przedziałach.

Przez różniczkowanie obu stron otrzymujemy

y'=y'+xy''+f'(y')y''\,

czyli

y''=0\, lub 0=x+f'(y')\,

Te równanie łatwo rozwiązać. Trzeba jeszcze pamiętać, że nie wszystkie ich rozwiązania są rozwiązaniami pierwotnego równania. Ostatecznie otrzymuje się rodzinę prostych i jej obwiednię.

Równanie Clairauta dla funkcji wielu zmiennych[edytuj | edytuj kod]

Równanie to można uogólnić na przypadek wielu zmiennych x1, x2,..., xn Ma ono wówczas postać

y={{x}_{1}}\frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}}+{{x}_{2}}\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}}+...+{{x}_{n}}\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}}+f\left( \frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}},\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}},...,\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}} \right)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1997, wyd. XIV, ISBN 83-01-11658-7