Równanie różniczkowe Clairauta

Równanie różniczkowe Clairauta – równanie różniczkowe postaci:

$y=xy'+f(y')\,$

O funkcjach y oraz f zakładamy, że są różniczkowalne w pewnych przedziałach.

Przez różniczkowanie obu stron otrzymujemy

$y'=y'+xy''+f'(y')y''\,$

czyli

$y''=0\,$ lub $0=x+f'(y')\,$

Te równanie łatwo rozwiązać. Trzeba jeszcze pamiętać, że nie wszystkie ich rozwiązania są rozwiązaniami pierwotnego równania. Ostatecznie otrzymuje się rodzinę prostych i jej obwiednię.

Równanie Clairauta dla funkcji wielu zmiennych

Równanie to można uogólnić na przypadek wielu zmiennych x₁, x₂,..., x_n Ma ono wówczas postać

$y={{x}_{1}}\frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}}+{{x}_{2}}\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}}+...+{{x}_{n}}\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}}+f\left( \frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}},\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}},...,\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}} \right)$

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1997, wyd. XIV, ISBN 83-01-11658-7