Równanie różniczkowe Eulera

Równanie różniczkowe Eulera rzędu n – to równanie różniczkowe postaci:

$a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}...+a_1xy'+a_0y=f(x)\;$ dla $a_n\not=0$ ,

gdzie $a_n$ , ..., $a_0$ są stałymi, a równanie jest liniowe względem y i jego pochodnych.

Jeżeli f(x) = 0 to równanie Eulera przyjmuje postać:

$a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}...+a_1xy'+a_0y=0\;$ dla $a\not=0$

Równanie różniczkowe Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach podstawieniem

$x=e^{t}$

$\frac{dx}{dt}=e^{t}=x$

$\frac{dt}{dx}=e^{-t}=x^{-1}$

Dla pierwszego składnika:

$x\frac{dy}{dx}=x\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=x\frac{dy}{dt}x^{-1}=\frac{dy}{dt}$

Dla drugiego składnika:

$x^2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=x^2\frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right)=x^2\frac{dt}{dx}\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}\right)=e^{2t}e^{-t}\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dt} e^{-t}\right)=e^{t}\left( \frac{d^2y}{dt^2}e^{-t}-\frac{dy}{dt}e^{-t} \right)=\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}$

Dla pozostałych obliczenia wyglądają analogicznie.

Weźmy równanie

$a_{2}x^2y^{(2)}+a_{1}xy^{(1)}+a_{0}y=f(x)$

Połóżmy

$y(x)=u(\ln(|x|))$

$a_{2}x^{2}(u^{(2)} \cdot \frac{1}{x^2}-u^{(1)} \cdot \frac{1}{x^2})+a_{1}xu^{(1)} \cdot \frac{1}{x}+a_{0}u=f(x)$

$a_{2}u^{(2)} -a_{2}u^{(1)}+a_{1}u^{(1)}+a_{0}u=f(x)$

$a_{2}u^{(2)}+(a_{1}-a_{2})u^{(1)}+a_{0}u=f(x)$

A to jest już równanie liniowe o stałych współczynnikach

Znajdujemy pierwiastki równania charakterysktycznego następnie uzmienniamy stałą rozwiązując układ z macierzą Wrońskiego

Przykład

$x^3y^{(3)}-x^2y^{(2)}-2xy^{(1)}+6y=0$

$y(x)=u(\ln{|x|})$

$x^3(u^{(3)}\cdot \frac{1}{x^3}-u^{(2)}\cdot \frac{1}{x^3}+u^{(1)}\cdot \frac{2}{x^3} )-x^2(u^{(2)}\cdot \frac{1}{x^2}-u^{(1)}\cdot \frac{1}{x^2})-2xu^{(1)}\cdot \frac{1}{x}+6y=0$