Równanie różniczkowe Poissona

Równanie różniczkowe Poissona – niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.

Równanie to zapisać można w postaci:

$\; \nabla^2 u=f \;$

lub inaczej

$\; \Delta u=f \;$.

Funkcję $\; f \;$ zmiennych przestrzennych traktuje się jako znaną.

Równanie można również zapisać explicite dla przestrzeni o zadanym wymiarze.

Dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje ono postać:

$\; \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}u(x,y,z)=f(x,y,z) \;,$

a dla dwuwymiarowej:

$\; \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y)=f(x,y) \;.$

W przypadku jednowymiarowym równanie Poissona redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego:

$\; u''(x)=f(x) \;.$

W przypadku jednorodnym, tj. jeśli $\; f \equiv 0 \;,$ to mamy do czynienia z przypadkiem szczególnym znanym pod nazwą równania różniczkowego Laplace’a.

Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elekrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku i przeprowadził analizę jego rozwiązań.

Rozwiązania i funkcje Greena

Równanie różniczkowe Poissona z dołączonymi do niego warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe. Zagadnienie to posiada rozwiazania regularne, o ile warunki brzegowe mają postać ciągłą.

Dla obszaru $U$ i funkcji ciągłych $f$ i $g$ rozwiązaniem równania Poissona $\Delta u=f$ w obszarze $U$ spełniającym warunek $u=g$ na brzegu $U$ jest

$u(x) = \int_{\partial U} g(y) \frac{\partial G}{\partial n} (x,y) dS(x,y) + \int_U f(y) G(x,y) dy,$

gdzie $G$ jest funkcją Greena obszaru (o ile dla danego obszaru taka funkcja istnieje).

Funkcją Greena półprzestrzeni $\mathbb{R}^{n}_{+}=\{ x=(x_1, \ldots, x_n): x_n>0 \}$ jest

$G(x,y) = \Gamma (y - x) - \Gamma (y - \bar{x}),$

gdzie $\bar{x} = (x_1,\ldots , -x_n),$a $\Gamma$ jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Funkcją Greena (hiper-)kuli jest

$G(x,y) = \Gamma (y - x) - \Gamma (|x|(y - \tilde{x})),$

gdzie $\tilde{x} = \frac{x}{|x|^2},$ a $\Gamma$ jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Zobacz też

• operator Laplace’a
• operator nabla
• równanie różniczkowe Laplace’a

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, Warszawa 2002.