Równanie różniczkowe Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe Poissona – niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.

Równanie to zapisać można w postaci:

\; \nabla^2 u=f \;

lub inaczej

\; \Delta u=f \;.

Funkcję \; f \; zmiennych przestrzennych traktuje się jako znaną.

Równanie można również zapisać explicite dla przestrzeni o zadanym wymiarze.

Dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje ono postać:

\; \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}u(x,y,z)=f(x,y,z) \;,

a dla dwuwymiarowej:

\; \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y)=f(x,y) \;.

W przypadku jednowymiarowym równanie Poissona redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego:

\; u''(x)=f(x) \;.

W przypadku jednorodnym, tj. jeśli \; f \equiv 0 \;, to mamy do czynienia z przypadkiem szczególnym znanym pod nazwą równania różniczkowego Laplace’a.

Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elekrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku i przeprowadził analizę jego rozwiązań.

Rozwiązania i funkcje Greena[edytuj | edytuj kod]

Równanie różniczkowe Poissona z dołączonymi do niego warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe. Zagadnienie to posiada rozwiazania regularne, o ile warunki brzegowe mają postać ciągłą.

Dla obszaru U i funkcji ciągłych f i g rozwiązaniem równania Poissona \Delta u=f w obszarze U spełniającym warunek u=g na brzegu U jest

u(x) = \int_{\partial U} g(y) \frac{\partial G}{\partial n} (x,y) dS(x,y) + \int_U f(y) G(x,y) dy,

gdzie G jest funkcją Greena obszaru (o ile dla danego obszaru taka funkcja istnieje).

Funkcją Greena półprzestrzeni \mathbb{R}^{n}_{+}=\{ x=(x_1, \ldots, x_n): x_n>0 \} jest

G(x,y) = \Gamma (y - x) - \Gamma (y - \bar{x}),

gdzie \bar{x} = (x_1,\ldots , -x_n),a \Gamma jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Funkcją Greena (hiper-)kuli jest

G(x,y) = \Gamma (y - x) - \Gamma (|x|(y - \tilde{x})),

gdzie \tilde{x} = \frac{x}{|x|^2}, a \Gamma jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]