Równanie różniczkowe zupełne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci:

 P(x,y)+Q(x,y) \cdot {dy \over{dx}}=0

w którym  P(x,y), \  Q(x,y) \; - funkcje ciągłe w pewnym obszarze  D\; i takie, że wyrażenie  \  P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy\; jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze  D\; funkcji dwóch zmiennych  F(x,y)\; .

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja  F(x,y)\;, że w każdym punkcie obszaru  D\; zachodzą następujące związki:

 {\partial F \over{ \partial x}}= P(x,y), \quad {\partial F \over{\partial y}}=Q(x,y)

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie  \  P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy\; było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym  D jest spełnienie równości:

 {\partial P \over{\partial  y}}={\partial Q \over{\partial  x}}

Przykład[edytuj | edytuj kod]

 \ (\cos x - x \sin x)y\, dx + (x\cos x - 2y)\,dy = 0
{\mathcal L}={\partial P \over{\partial  y}}= \cos x - x\sin x
{\mathcal P}={\partial Q \over{\partial  x}}= \cos x - x\sin x

Zatem \mathcal L=P, czyli istnieje F(x,y) taka, że:

{\partial F \over{ \partial x}}= (\cos x - x\sin x)y
(1)
{\partial F \over{ \partial y}}= x\cos x - 2y
(2)

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. (2)) otrzymujemy:

F(x,y)= \int (x\cos x - 2y)dy= yx \cos x - y^2 + \phi(x)

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

{\partial F \over{ \partial x}}=y(\cos x - x\sin x)+ \phi^\prime(x)
y \cos x - yx \sin x +\phi^\prime(x) = (\cos x - x \sin x)y\; z równania (1)

Stąd:

\phi^\prime(x) = 0,\;

Zatem:

\phi(x) = C_{1}.\;

Czyli:

F(x,y)=xy \cos x - y^2 + C_{1}= C_{2},\;

i upraszczając:

xy \cos x - y^2 = C,\; gdzie C\; to stała.