Równanie stanu (termodynamika)

Równanie stanu jest związkiem między parametrami (funkcjami stanu) układu termodynamicznego, takimi jak ciśnienie $P$, gęstość masy $\rho$ (w przypadku relatywistycznym gęstość masy-energii i gęstość numeryczna cząstek), temperatura $T$, entropia $s$, energia wewnętrzna $u$, który można zapisać w postaci następującego równania:

$P = P(\rho, T, s, u...)\,.$

Równanie stanu służy do opisywania właściwości mikroskopowych płynów oraz ciał stałych, takich jak ściśliwość lub sprężystość, oraz własności makroskopowych, jak np. masy i promienie gwiazd.

Gaz doskonały

Przykładowo dla gazu doskonałego równanie stanu (Równanie Clapeyrona) ma postać

$PV=nRT=k_B T N$

gdzie

• $P$ – ciśnienie
• $V$ – objętość
• $n$ – ilość moli
• $R$ – stała gazowa
• $T$ – temperatura w skali Kelvina
• $k_B$ – stała Boltzmanna
• $N$ – liczba cząsteczek gazu.

Stąd:

$P=k_B T (N/V) = k_{B}T \rho_{N}\,$

Gdzie gęstość cząstek jednorodnie zbudowanego gazu doskonałego $\rho_{N}$ to:

$\rho_{N} = \frac{N}{V}$

Gęstość masy $\rho$ to:

$\rho = m \frac{N}{V} = m \rho_{N}$

gdzie m to masa cząsteczkowa.

Gęstość energii $\epsilon$ to

$\epsilon = m c^{2} \frac{N}{V} = mc^{2} \rho_{N}$

gdzie

• $mc^{2}$ – całkowita energia cząsteczki o masie m

Otrzymujemy stąd równanie stanu gazu doskonałego:

$P =\frac{k_B T}{mc^2}\epsilon = K \epsilon$

Równanie politropy

Bardziej ogólną postać od równania gazu doskonałego daje równanie politropy

$P = K \epsilon^{\Gamma}= K \epsilon^{1+\frac{1}{n}}$

gdzie

• $n$ – wykładnik politropy.

Równanie stanu gazu rzeczywistego

Równanie stanu gazu rzeczywistego można przybliżać na różne sposoby, np. (wzory dla jednego mola, n=1)

równanie	postać	współczynnik krytyczny $\frac{p_k V_k}{R T_k}$	uwagi
równanie van der Waalsa	$\left( p + \frac{a}{V^2} \right) (V - b) = R T$	$\frac{3}{8} = 0,375$	najlepiej znane
równanie Clausiusa	$\left( p + \frac{a}{(V+c)^2 T} \right) (V - b) = R T$
równanie Berthelota	$\left( p + \frac{a}{T V^2} \right) (V - b) = R T$	$\frac{3}{8} = 0,375$	lepiej niż r. v. d. W. opisuje zachowanie gazów przy niskich ciśnieniach i temperaturach wyższych od krytycznej
równanie Dietericiego	$p = \frac{RT}{V-b} e^{- \frac{a}{R T V}}$	$\frac{2}{e^2} \approx 0,271$	dla umiarkowanych ciśnień lepiej, dla wysokich gorzej zgadza się z doświadczeniem niż r. v. d. W.
równanie Wukałowicza-Nowikowa	$p V = R T \left( 1 - \frac{p C}{T^{\frac{5 + 2 m}{2}}} \right)$
zaproponowane przez Callendara	$V - b = \frac{R T}{p} - c_0 \left( \frac{T_0}{T} \right)^n$		nie można go stosować w pobliżu punktu krytycznego
zaproponowane przez Beattie i Bridgemana	$\frac{p V}{R T} = \left( 1 - \frac{c}{V T^3} \right) \left( 1 + \frac{B_0}{V} - \frac{B_0 b}{V^2} \right) - \left( \frac{A_0}{R T V} \right) \left( 1 - \frac{a}{V} \right)$

Przy czym $a$, $b$, $c$, $C$, $m$ – stałe

Hipoteza stanów odpowiednich mówi, w odniesieniu do gazów, że dla tych samych parametrów zredukowanych gazy zachowują się tak samo, tak jak sugerują to równanie van der Waalsa, Berthelota i Dietericiego, czyli wykazują podobieństwo termodynamiczne.

Rozwinięcie wirialne:

$\frac{P V}{R T} = 1 + \frac{B(T)}{V} + \frac{C(T)}{V^2} + \frac{D(T)}{V^3} + \cdots$

lub

$\frac{P V}{R T} = 1 + B'(T) p + C'(T) p^2 + D'(T) p^3 + \cdots$

to najogólniejsza postać równania stanu gazów rzeczywistych.

Kosmologia

Różne rodzaje materii mają różna równania stanu. Równanie stanu jest istotnym równaniem determinującym budowę i ewolucje gwiazdy.

W kosmologii równanie stanu determinuje ewolucję Wszechświata. W prostych modelach przyjmuje się, że poszczególne składniki wszechświata mają równanie stanu niezależne od temperatury, postaci

$P = w \rho c^2$.

• Dla "pyłu", czyli zwykłej materii rozumianej jako "gaz galaktyk", tak jak dla ciemnej materii, pomija się ciśnienie, czyli $w=0$.
• Dla "promieniowania", materii ultrarelatywistycznej (gdy masa $m \rightarrow 0$), np. gazu fotonowego, $w=1/3$.
• Dla kwintesencji $w < -1/3$.
  • W szczególności dla stałej kosmologicznej $w = -1$