Równanie własne

Równanie własne – równanie postaci:

$\hat{A}\psi_{a}=a\psi_{a}$

lub w notacji Diraca:

$\hat{A}|\psi_{a}\rangle=a|\psi_{a}\rangle$

w którym dany jest operator $\hat{A}$, a szukanymi: wartości własne $a$ i funkcje własne $\psi_{a}$ odpowiadające wartości własnej $a$.

Równanie własne gra podstawową rolę w mechanice kwantowej, gdzie $\hat{A}$ reprezentuje wielkość fizyczną (obserwablę), $\psi$ jest funkcją falową opisującą analizowany układ fizyczny (kwantowy), a $a$ - wynikiem pomiaru wielkości reprezentowanej przez operator $\hat{A}$. W reprezentacji macierzowej Heisenberga $|\psi\rangle$ jest wektorem własnym w przestrzeni Hilberta.

Równanie Schrödingera jako równanie własne

W szczególności równanie Schrödingera jest równaniem własnym hamiltonianu $\hat{H}$ (tj. operatora energii), mającym postać:

$\hat{H}\psi_{E} = E \psi_{E}$

gdzie hamiltonian jest operatorem różniczkowym zależnym geometrii i oddziaływań w badanym układzie fizycznym, zaś E - energią układu znajdującego się w stanie opisywanym funkcją falową $\psi_{E}$.

Rozwiązanie powyższego równania jest równoznaczne znalezieniu kwantowomechanicznego opisu układu.

W zależności od układu fizycznego równanie własne hamiltonianu może mieć jedno, skończoną lub nieskończoną liczbę rozwiązań. Zbiór rozwiązań może też być ciągły (istnieją rozwiązania o dowolnej energii E) lub dyskretny (istnieją rozwiązania tylko dla pewnych wartości energii: E₁, E₂, E₃, ...).

W szczególności dla stanów związanych (np. atomu wodoru) otrzymujemy dyskretny zestaw rozwiązań "numerowanych" liczbą całkowitą n, na przykład:

$\psi_{n}$ , E_n, gdzie: n = 1, 2, 3...

Z tego, że zbiór rozwiązań równania własnego hamiltonianu jest dyskretny, wynika że układ fizyczny może znajdować się tylko w stanach o określonej energii (mówiąc potocznie: jego "poziomy energetyczne są skwantowane"). Stany te są opisane liczbą n, nazywaną liczbą kwantową.

Tak więc skwantowanie poziomów energetycznych elektronów w atomach jest spowodowane dyskretnym charakterem rozwiązań równania własnego odpowiadającego im hamiltonianu.

Wyniki prac nad odkrytym przez siebie równaniem przedstawił Schrödinger w czterech artykułach opublikowanych w 1926 r. w czasopiśmie Annalen der Physik pod wspólnym tytułem: Quantisierung als Eigenwertproblem, czyli Kwantowanie jako problem wartości własnych.