Równanie własne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie własne – równanie postaci:

 Ax = \lambda x

gdzie A jest ustaloną macierzą x\times x, zaś x szukanym wektorem (nazywanym własnym), a \lambda - liczbą, szukaną wartością własną. Dla macierzy skończenie wymiarowych gwarantowane jest istnienie przynajmniej jednego rozwiązania, dla macierzy symetrycznych lub hermitowskich, gwarantowane jest istnienie n liniowo niezależnych wektorów własnych. Równanie własne w identycznej postaci często zapisuje się dla operatorów w przestrzeni Hilberta.

Zagadnienie własne występuje często w fizyce jako narzędzie matematyczne. Cześć fizyki teoretycznej dotyczy problemów liniowych (np. mechanika kwantowa), zaś część problemów fizycznych poddaje się technikom linearyzacji (np. linearyzacja układu dynamicznego wokół punktu stacjonarnego).

Równanie własne w mechanice klasycznej[edytuj | edytuj kod]

W mechanice klasycznej równanie własne występuje często w kontekście wyznaczania modów własnych układu który wykonujeruch harmoniczny, lub inny ruch okresowy, który można w przybliżeniu traktować jako ruch harmoniczny (tzw. małe drgania) [1] . Jeśli punkt materialny posiada punkt równowagi  \bar{x}: \nabla V(\bar{x})=0, wówczas potencjał wokół \bar x można przybliżyć przez drugą pochodną:  V(\bar{x}+y)\approx \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j} \left(\frac{\partial^2V}{\partial x_i \partial x_j}(\bar{x})\right) y_i y_j,

Ruch w takim potencjale prowadzi do równania różniczkowego  \ddot{y}(t) = -\left(\frac{\partial^2V}{\partial x_i \partial x_j}(\bar{x})\right)_{i,j} y(t), dla .

Równanie tej postaci ma rozwiązania w postaci drgań harmonicznych. Zakładając, że y(t)=y_0 \exp(i\omega t) , otrzymujemy, że:

\omega^2 y_0 = \left(\frac{\partial^2V}{\partial x_i \partial x_j}(\bar{x})\right)_{i,j}y_0, a więc równanie własne z \lambda=\omega^2, A=\left(\frac{\partial^2V}{\partial x_i \partial x_j}(\bar{x})\right)_{i,j}.

Równanie własne w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Równanie własne gra podstawową rolę w mechanice kwantowej, gdzie \hat{A} reprezentuje wielkość fizyczną (obserwablę), \psi jest funkcją falową opisującą analizowany układ fizyczny (kwantowy), a a - wynikiem pomiaru wielkości reprezentowanej przez operator \hat{A}. W reprezentacji macierzowej Heisenberga |\psi\rangle jest wektorem własnym w przestrzeni Hilberta.

Równanie Schrödingera jako równanie własne[edytuj | edytuj kod]

W szczególności równanie Schrödingera jest równaniem własnym hamiltonianu \hat{H} (tj. operatora energii), mającym postać:

\hat{H}\psi_{E} = E \psi_{E}

gdzie hamiltonian jest operatorem różniczkowym zależnym geometrii i oddziaływań w badanym układzie fizycznym, zaś E - energią układu znajdującego się w stanie opisywanym funkcją falową \psi_{E}.

Rozwiązanie powyższego równania jest równoznaczne znalezieniu kwantowomechanicznego opisu układu.

W zależności od układu fizycznego równanie własne hamiltonianu może mieć jedno, skończoną lub nieskończoną liczbę rozwiązań. Zbiór rozwiązań może też być ciągły (istnieją rozwiązania o dowolnej energii E) lub dyskretny (istnieją rozwiązania tylko dla pewnych wartości energii: E1, E2, E3, ...).

W szczególności dla stanów związanych (np. atomu wodoru) otrzymujemy dyskretny zestaw rozwiązań "numerowanych" liczbą całkowitą n, na przykład:

 \psi_{n} , En, gdzie: n = 1, 2, 3...

Z tego, że zbiór rozwiązań równania własnego hamiltonianu jest dyskretny, wynika że układ fizyczny może znajdować się tylko w stanach o określonej energii (mówiąc potocznie: jego "poziomy energetyczne są skwantowane"). Stany te są opisane liczbą n, nazywaną liczbą kwantową.

Tak więc skwantowanie poziomów energetycznych elektronów w atomach jest spowodowane dyskretnym charakterem rozwiązań równania własnego odpowiadającego im hamiltonianu.

Wyniki prac nad odkrytym przez siebie równaniem przedstawił Schrödinger w czterech artykułach opublikowanych w 1926 r. w czasopiśmie Annalen der Physik pod wspólnym tytułem: Quantisierung als Eigenwertproblem, czyli Kwantowanie jako problem wartości własnych.

Przypisy

  1. Michael Vaughn: Introduction to Mathematical Physics. John Wiley & Sons, 2008, s. 80-83. ISBN 9783527406272.