Równanie symetryczne

Równanie symetryczne jest to równanie algebraiczne postaci

$a_{n}x^n+...+a_{1}x+a_{0}=0$, gdzie dla każdego i zachodzi $a_{n-i}=a_{i}$.

Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej $2n+1$ można sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej $n$. W szczególności, za pomocą pierwiastników można rozwiązać dowolne równanie symetryczne aż do dziewiątego stopnia.

Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem $W(-1)=0$ i na podstawie twierdzenia Bezouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez $x+1$, otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.

Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:

$a_{2m}x^{2m}+a_{2m-1}x^{2m-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}=0$

gdzie $a_{2m-k}=a_{k}$ i $a_{2m}\neq 0$ dzielimy obie strony równania przez $x^m$. Grupując wyrazy otrzymujemy

$a_{2m} (x^m + x^{-m}) + a_{2m-1} (x^{m-1} + x^{1-m}) + \dots + a_{m+1} (x + x^{-1}) + a_{m} = 0$.

Podstawmy teraz $y=x+x^{-1}$. Wówczas sumy $x^{k}+x^{-k}$ można wyrazić jako wielomiany zmiennej $y$:

$x^{2}+x^{-2}=y^2-2$

$x^{3}+x^{-3}=y^3-3y$

i ogólnie, korzystając ze związku

$(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})=x^{n+1}+x^{-n-1}+x^{n-1}+x^{1-n}$

czyli

$x^{n+1}+x^{-n-1}=(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})-x^{n-1}-x^{1-n}$

możemy obliczyć $x^{n+1}+x^{-n-1}$, mając $x^{n}+x^{-n}$ i $x^{n-1}+x^{1-n}$.

Tak więc po podstawieniu $y=x+x^{-1}$ równanie redukuje się do równania stopnia $m$:

$b_{m} y^{m} + b_{m-1} y^{m-1} + \dots + b_{1} y + b_0=0$.

Rozwiązując to równanie, ze związku $y=x+x^{-1}$ otrzymujemy rozwiązania pierwotnego równania.

Przykłady

• Równanie $ax^3 + bx^2 + bx + a = 0\quad$,gdzie $a\neq 0$.

Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez $x+1$. Po podzieleniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

$ax^2 + (b-a)x + a = 0$

• Równanie symetryczne stopnia czwartego zwie się zwyczajowo równaniem zwrotnym.

$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$ gdzie $\neq 0$

Dzieląc obustronnie przez $x^2$ i grupując wyrazy otrzymujemy

$a(x^2+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0$

Podstawiając $y=x+x^{-1}$ mamy $x^2+x^{-2}=y^2-2$. Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe

$a(y^2-2)+by+c=0$

$ay^2+by+c-2a=0$

i korzystając z tych rozwiązań obliczyć $x$.

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• Równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia
• równanie bikwadratowe