Równanie symetryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Równanie zwrotne)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie symetryczne jest to równanie algebraiczne postaci

a_{n}x^n+...+a_{1}x+a_{0}=0, gdzie dla każdego i zachodzi a_{n-i}=a_{i}.

Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej 2n+1 można sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej n. W szczególności, za pomocą pierwiastników można rozwiązać dowolne równanie symetryczne aż do dziewiątego stopnia.

Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem W(-1)=0 i na podstawie twierdzenia Bezouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez x+1, otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.

Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:

a_{2m}x^{2m}+a_{2m-1}x^{2m-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}=0

gdzie a_{2m-k}=a_{k} i a_{2m}\neq 0 dzielimy obie strony równania przez x^m. Grupując wyrazy otrzymujemy

a_{2m} (x^m + x^{-m}) + a_{2m-1} (x^{m-1} + x^{1-m}) + \dots + a_{m+1} (x + x^{-1}) + a_{m} = 0.

Podstawmy teraz y=x+x^{-1}. Wówczas sumy x^{k}+x^{-k} można wyrazić jako wielomiany zmiennej y:

x^{2}+x^{-2}=y^2-2
x^{3}+x^{-3}=y^3-3y

i ogólnie, korzystając ze związku

(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})=x^{n+1}+x^{-n-1}+x^{n-1}+x^{1-n}

czyli

x^{n+1}+x^{-n-1}=(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})-x^{n-1}-x^{1-n}

możemy obliczyć x^{n+1}+x^{-n-1}, mając x^{n}+x^{-n} i x^{n-1}+x^{1-n}.

Tak więc po podstawieniu y=x+x^{-1} równanie redukuje się do równania stopnia m:

b_{m} y^{m} + b_{m-1} y^{m-1} + \dots + b_{1} y + b_0=0.

Rozwiązując to równanie, ze związku y=x+x^{-1} otrzymujemy rozwiązania pierwotnego równania.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Równanie ax^3 + bx^2 + bx + a = 0\quad,gdzie a\neq 0.

Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez x+1. Po podzieleniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

ax^2 + (b-a)x + a = 0
ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0 gdzie \neq 0

Dzieląc obustronnie przez x^2 i grupując wyrazy otrzymujemy

a(x^2+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0

Podstawiając y=x+x^{-1} mamy x^2+x^{-2}=y^2-2. Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe

a(y^2-2)+by+c=0
ay^2+by+c-2a=0

i korzystając z tych rozwiązań obliczyć x.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]