Równoważność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy spójnika logicznego. Zobacz też: artykuł o rodzaju relacji.

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Przykłady:

Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 5. (zdanie fałszywe)
Jutro pójdę do kina wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda.

tzn. pójdę do kina, jeżeli będzie ładna pogoda oraz jeżeli pójdę do kina, to będzie ładna pogoda.

Spójnik[edytuj | edytuj kod]

Równoważność można definiować jako dwuargumentowy funktor zdaniotwórczy (spójnik zdaniowy), którego funkcja prawdziwościowa odpowiada znaczeniu zwrotu …wtedy i tylko wtedy, gdy…. Dla danych zdań p, q ich równoważność zapisuje się symbolem p \leftrightarrow q. Jednym z praw dotyczących spójnika równoważności jest to, że ma on tę samą wartość logiczną, co zdanie

(p \rightarrow q) \and (p \leftarrow q),

czyli zdania p i q są równoważne, jeżeli zdanie: „z p wynika q, a z q wynika p” jest prawdziwe.

Tablica prawdy dla równoważności:
p \! q \! p \leftrightarrow q \!
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

gdzie:

1 – zdanie prawdziwe
0 – fałszywe

Identyczność[edytuj | edytuj kod]

Zdanie p \leftrightarrow q może przyjmować dowolną z dwóch wartości (prawda oraz fałsz). Jednak jeżeli jest ono prawdziwe dla dowolnych wartościowań zdań składających się tak na zdanie p jak i na q, to takie zdanie nazywa się tautologią. Wówczas zdania p i q można uważać za tożsame w sensie logicznym. Fakt ten zapisuje się wtedy symbolem p \Leftrightarrow q. Zaznaczone w poprzedniej sekcji prawo, iż równoważność jest tożsama koniunkcji dwóch implikacji (materialnych), prostej i przeciwnej, można zapisać następująco:

(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow [(p \rightarrow q) \and (q \rightarrow p)].

Oczywiście

(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow [(p \Rightarrow q) \and (q \Rightarrow p)],

gdzie \Rightarrow oznacza implikację logiczną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikibooks-logo.svg
Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceumLogika