Rachunek kombinatorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rachunek kombinatorów (ang. Combinatory Calculi) to jeden z najprostszych możliwych uniwersalnych systemów formalnych.

Na język rachunku kombinatorów składają się kombinator stały K, kombinator rodzielonej aplikacji S, oraz kombinatory aplikacji złożone z pary dowolnych kombinatorów - funkcji i argumentu:

  • σ = S | K | (σ σ)

Derywacją rządzą dwie reguły:

  • ((K α) β) → α
  • (((S α) β) γ) → ((α γ) (β γ))

Gdzie α, β i γ to dowolne kombinatory.

Tak prosty system jest w stanie wyrazić wszystko, co jest w stanie wyrazić rachunek lambda, dowolna maszyna Turinga czy w ogóle dowolny algorytm.

Kombinatory mają prostą interpretację w rachunku lambda:

  • K = λ x . λ y . x
  • S = λ x . λ y . λ z . (x z) (y z)

Często wprowadza się też kombinator identyczności I z regułą:

  • (I α) → α

Ponieważ system SK już jest kompletny, kombinator ten można przepisać jako (SK)K:

  • (((S K) K) α) → ((K α) (K α)) → α

Podobnie jak w rachunku lambda zwykle pomija się nadmiarowe nawiasy, zakładając wiązanie w lewo: α β γ to więc ((α β) γ).

Ponieważ każdy kombinator ma bardzo prostą interpretację w rachunku lambda, badania rachunku kombinatorów są zwykle częścią badań nad rachunkiem lambda.

Z zupełności systemu SK wynika, że każde λ wyrażenie bez zmiennych wolnych (w terminologii rachunku lambda również zwane kombinatorem) można zapisać za pomocą S i K, jednak ze względu na uboższy język, takie wyrażenia mają tendencję do przybierania bardzo dużych rozmiarów.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Prawda - K
  • Fałsz - KI = K(SKK)
  • 0 - KI
  • 1 - I = SKK
  • Następnik - S(S(KS)K)
  • Operator paradoksalny - S(S(S(KS)K)(K(SII)))(S(S(KS)K)(K(SII))) = S(S(S(KS)K)(K(S(SKK)(SKK))))(S(S(KS)K)(K(S(SKK)(SKK))))

Jak widać po przykładzie operatora paradoksalnego, rachunek kombinatorów może być i jest prostszy, jest jednak o wiele mniej czytelny od rachunku lambda.