Rachunek wariacyjny

Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Przykładowe zagadnienia

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej ($\mathbb R^2$ z metryką euklidesową) z krzywa łącząca punkty $A$ i $B$ dana jest funkcją $y(x): [0,1] \to \mathbb R$, taką, że $A=(0,y_0)$ i $B=(1,y_1)$, gdzie $y_i = y(i)$.

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

$\sqrt{dx^2 +dy^2}$ gdzie $dx, dy$ to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

$\int\limits_0^1 \sqrt{1+(y'(x))^2} dx$

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa dana jest równaniem:

$y = (y_1 - y_0) x + y_0$.

Zasada Fermata

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej, dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę $ds$ wynosi $dt = \frac{ds}{v}=\frac{1}{c}n \; ds$ gdzie ,$v$ jest prędkością światła w ośrodku, $c$ to prędkością światła w próżni a $n$ to współczynnikiem załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

$\int\limits_A^B n \; ds$

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

$\int\limits_0^1 n(x,y)\sqrt{1+(y'(x))^2} \; dx$

gdzie $y(x)$ to krzywa, po której porusza się promień, taka, że $A=(0,y(0))$ i $B=(1,y(1))$.

Metody rachunku wariacyjnego

Równania Eulera-Lagrange'a

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego, służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

$S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(x(t),x'(t),t) \; dt$

to równania E-L mają postać

$\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial x'}\right ) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0$

gdzie $x$ może być liczbą rzeczywistą albo wektorem - w drugim przypadku dostajemy układ równań

$\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right ) - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0$

gdzie $x_i$ jest współrzędną.

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Bibliografia

• John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212-232. ISBN 978-83-01-14674-0.
• Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975, s. 45-53.