Radialna funkcja bazowa

Radialna funkcja bazowa (ang. radial basis function – RBF) – funkcja rzeczywista, której wartość zależy zwykle wyłącznie od odległości od określonego punktu. Funkcje te są używane w funkcjach aproksymacji, dla ciągów prognoz czasowych i sterowania. W sztucznych sieciach neuronowych radialne funkcje bazowe są wykorzystywane jako funkcje aktywacji.

Każda funkcja $\rho$ która spełnia własność $\rho (x)=\rho (\|x\|)$ jest funkcją radialną. Za normę uznaje się zwykle metrykę euklidesową. Odległość może być mierzona od dowolnego punktu $x_{k}{:}$ $\rho (x,x_{k})=\rho (\|x-x_{k}\|).$ Punkt $x_{k},$ który zwykle jest znanym punktem aproksymacyjnym, nazywamy centrum.

Dwie nieznormalizowane radialne funkcje bazowe, z jednowymiarowym wejściem. Centra są zlokalizowane: $x_{1}=0{,}75;x_{2}=3{,}25.$

Metody aproksymacyjne

Wagowa kombinacja radialnych funkcji bazowych

$y(\mathbf {x} )=\sum _{k=1}^{K}w_{k}\rho (\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{k}\|)$

może być użyta do aproksymacji dowolnych funkcji ciągłych z bezwzględną dokładnością dla punktów gęsto położonych. Taka suma może być rozumiana jako typ sztucznych sieci neuronowych, zwanych sieciami radialnych funkcji bazowych. Aproksymacja jest zmienna, co pozwala na „uczenie” współczynników wagowych $w_{k}$ stanowiących rozwiązanie układu $K$ (liczba wszystkich punktów aproksymacyjnych) równań spełniających warunek:

$y_{k}=\sum _{l=1}^{K}w_{l}\rho _{lk},$

gdzie $y(\mathbf {x} _{k})=y_{k}$ oznacza znane wartości aproksymacyjne w znanych punktach aproksymacyjnych $x_{k},$ $\rho _{lk}=\rho (\|\mathbf {x} _{l}-\mathbf {x} _{k}\|),$ a $l=1,2,\dots ,K.$

Macierz powyższego układu ma postać:

${\begin{bmatrix}y_{1}\\\dots \\y_{K}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{11}&\dots &\dots \\\dots &\dots &\dots \\\dots &\dots &\rho _{KK}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{1}\\\dots \\w_{K}\end{bmatrix}}$

i jest symetryczna (co wynika z własności funkcji bazowych i drugiego aksjomatu metryki), a poprzez odpowiedni dobór funkcji bazowych, również dodatnio określona. Metoda funkcji radialnych jest nowoczesną metodą aproksymacyjną. Jej wadą jest jednak konieczność wyznaczenia wektora $K$ współczynników aproksymacyjnych $w_{k},$ co dla dużych zbiorów danych może być bardzo czasochłonne.

Przykłady radialnych funkcji bazowych

Zwykle stosuje się następujące typy radialnych funkcji bazowych:

1. liniową: $\rho (r)=r,$
2. sześcienną: $\rho (r)=r^{3},$
3. cienkiej płytki: (ang. thin-plate spline): $\rho (r)=r^{2}\log(r),$
4. gaussowską: (ang. gaussian): $\rho (r)=\exp(-\beta r^{2}),$
5. wielokwadratową (ang. multiquadratic): $\rho (r)={\sqrt {r^{2}+\beta ^{2}}},$
6. odwrotną wielokwadratową (ang. inverse multiquadratic): $\rho (r)=\left(r^{2}+\beta ^{2}\right)^{-1/2},$
7. wielomianową (ang. polynomial): $\rho (r)=r^{2}+\beta ^{2},$
8. funkcję Wendlanda: $\rho (r)={\begin{cases}\left(1-{\frac {r}{R}}\right)^{4}\left(4{\frac {r}{R}}+1\right)&{\frac {r}{R}}<1\\0&{\frac {r}{R}}\geqslant 1\end{cases}},$
9. funkcję Wu: $\rho (r)={\begin{cases}\left(1-{\frac {r}{R}}\right)^{4}\left(4+16{\frac {r}{R}}+12\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}+3\left({\frac {r}{R}}\right)^{3}\right)&{\frac {r}{R}}<1\\0&{\frac {r}{R}}\geqslant 1\end{cases}}.$

Cechą wspólną funkcji bazowych 4–7 jest zastosowanie parametru rozmycia $\beta >0,$ pozwalającego na uniknięcie osobliwości lub złego uwarunkowania macierzy układu wynikających między innymi z zerowania się odległości $(r)$ dla nakładających się lub bliskich sobie punktów aproksymacyjnych $x_{k}.$ Właściwy dobór parametru $\beta$ może być jednak problematyczny i zwykle stosuje się tu jakieś dodatkowe kryterium, zależne od właściwości fizycznych analizowanego problemu. Jedną ze znanych propozycji jest kryterium związane z błędem pomiaru odległości punktów aproksymacyjnych. Inną możliwością jest zastosowanie metryki pomiarowej.

Inną możliwością jest określenie minimalnej dopuszczalnej odległości pomiędzy punktami aproksymacyjnymi (ang. data separation), bądź też zastosowanie funkcji bazowych o zwartym nośniku (ang. compact support) 8 lub 9 jakim jest obszar wokół punktu 0 i promieniu $R,$ jaki w tym przypadku stanowi parametr kontrolny.

Dodatkowo, dzięki zastosowaniu funkcji o zwartym nośniku typu macierz układu równań, z rozwiązania, którego określane są współczynniki $w_{k}$ jest nie tylko symetryczna i dodatnio określona, ale również rzadka, co pozwala na zastosowanie szybkich algorytmów iteracyjnych. Ponadto reprezentacja funkcji aproksymacyjnej ma wtedy charakter lokalny, przez co złożoność obliczeniowa samego procesu aproksymacji jest znacznie mniejsza.