Ranga grupy abelowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ranga grupy abelowej – w algebrze, uogólnienie pojęcia rangi grupy abelowej wolnej na dowolne grupy abelowe; można ją postrzegać jako najmniejszą liczbę elementów generujących daną grupę abelową. Ranga grupy abelowej wyznacza rozmiar największej grupy abelowej wolnej zawartej w tej grupie. Jeżeli grupa jest beztorsyjna, to rangę można traktować analogicznie do wymiaru przestrzeni liniowej: jest to w istocie wymiar najmniejszej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych, w której można zanurzyć daną grupę abelową.

Grupy abelowe są modułami nad pierścieniem liczb całkowitych, więc niżej przedstawiona definicja przenosi się wprost na moduły nad dowolnymi pierścieniami; z kolei odpowiednikiem rangi grupy abelowej wolnej jest ranga modułu wolnego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech A oznacza dowolną grupę abelową. Rangą grupy A nazywa się moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierającego wyłącznie elementy rzędu nieskończonego i rzędu będącego potęgą pewnej liczby pierwszej. Rangę grupy abelowej A oznacza się zwykle symbolem \mbox{r}(A).

Moc układu zawierającego wyłącznie elementy nieskończonego rzędu w A, który jest maksymalny względem tej własności nazywa się rangą beztorsyjną grupy A i oznacza symbolem \mbox{r}_0(A). Dla ustalonej liczby pierwszej p i grupy abelowej A definiuje się również liczbę kardynalną \mbox{r}_p(A) jako moc maksymalnego maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierające elementy postaci p^k, gdzie k jest pewną nieujemną liczbą całkowitą.

Równoważnie rangę \operatorname r(A) grupy A można zdefiniować jako wymiar przestrzeni liniowej A \otimes \mathbb Q (zob. iloczyn tensorowy) nad \mathbb Q.

Własności[edytuj | edytuj kod]

gdzie prawa strona równości wyrażona jest w arytmetyce liczb kardynalnych; w szczególności z faktu, iż dowolna grupa daje się rozłożyć na część beztorsyjną i torsyjną, ta zaś na tzw. p-składowe wynika (na podstawie poprzedniej własności), że wszystkie trzy rodzaje rang łączy następująca relacja:
\operatorname r(A) = \operatorname r_0(A) + \sum_{p \in \mathbb P} \operatorname r_p(A).
  • Rangi \operatorname r(A), \operatorname r_0(A), \operatorname r_p(A)niezmiennikami grupy A. Z powyższych obserwacji wynika, że aby udowodnić niezmienniczość \operatorname r wystarczy dowieść niezmienniczości \operatorname r_0 oraz \operatorname r_p, co z kolei na postawie powyższych zależności oznacza, że wystarcza ograniczyć się do grup beztorsyjnych oraz p-grup.

Grupy wyższych rang[edytuj | edytuj kod]

Ranga jest ważnym niezmiennikiem skończenie generowanych grup abelowych: każda taka grupa jest wyznaczona z dokładnością do izomorfizmu przez jej rangę i jej część torsyjną (w szczególności każda skończenie generowana beztorsyjna grupa abelowa jest grupą abelową wolną). Do tej pory ukończono klasyfikację beztorsyjnych grup abelowych rangi 1. Teoria grup abelowych wyższej rangi, a więc opis niezmienników takich grup, nadal jest przedmiotem badań.

Grupy abelowe rangi większej niż 1 są źródłem wielu interesujących przykładów. Przykładowo dla każdej liczby kardynalnej d istnieją beztorsyjne grupy abelowe rangi d, które są nierozkładalne, tzn. nie mogą być wyrażone w postaci sumy prostej ich podgrup właściwych. Fakt ten ukazuje, że beztorsyjne grupy abelowe rangi większej niż 1 nie mogą być budowane z dobrze znanych beztorsyjnych grup abelowych rangi 1.

Co więcej, dla każdej liczby całkowitej n > 2 istnieje beztorsyjna grupa rangi 2n - 2, która ma rozkłady proste na 2 oraz na n nierozkładalnych składników. W ten sposób, dla grup rangi nie mniejszej niż 4 nie można określić jednoznacznie nawet liczby składników nierozkładalnych.

Ograniczenie się do rozkładów prostych o ustalonej liczbie nierozkładalnych składników także nie daje jednoznaczności rozkładu prostego, co obrazuje uderzający wynik Cornera: dla danych liczb całkowitych n \geqslant k \geqslant 1 istnieje taka beztorsyjna grupa abelowa A rangi n, że dla dowolnego rozkładu n = r_1 + \dots + r_k na k liczb naturalnych r_i \geqslant 1 dla i = 1, \dots, k grupę A można przedstawić w postaci sumy prostej k nierozkładalnych podgrup o rangach r_1, \dots, r_k. Oznacza to, że nawet ciąg rang składników nierozkładalnych danego rozkładu prostego beztorsyjnej grupy abelowej skończonej rangi nie może być niezmiennikiem A.

Innym zaskakującym przykładem jest twierdzenie Fuchsa i Loonstry mówiące, iż dla danej liczby całkowitej m \geqslant 2 istnieją dwie nierozkładalne, beztorsyjne grupy abelowe A_m oraz B_m rangi 2 takie, że sumy proste n ich egzemplarzy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy m dzieli n.

Dla grup abelowych rangi nieskończonej istnieje przykład grupy A i jej podgrupy G o następujących własnościach:

  • A jest nierozkładalna;
  • A jest generowana przez G i dowolny inny element (tzn. jest sumą, lecz nieprostą);
  • dowolny niezerowy składnik prosty G jest nierozkładalny.