Regresja liniowa

Regresja liniowa – w statystyce, metoda estymowania wartości oczekiwanej zmiennej y przy znanych wartościach innej zmiennej lub zmiennych x. Szukana zmienna y jest tradycyjnie nazywana zmienną objaśnianą, lub zależną. Inne zmienne x nazywa się zmiennymi objaśniającymi lub niezależnymi. Zarówno zmienne objaśniane, jak i objaśniające, mogą być wielkościami skalarnymi lub wektorami.

Regresja w ogólności to problem estymacji warunkowej wartości oczekiwanej. Regresja liniowa jest nazywana liniową, gdyż zakładanym modelem zależności między zmiennymi zależnymi, a niezależnymi, jest funkcja liniowa.

Prosta regresji

Dla jednej zmiennej objaśniającej zagadnienie polega na poprowadzeniu prostej

$y = ax + b\;$

jak najlepiej dopasowanej do zbioru n punktów doświadczalnych $\{(x_1, y_1),(x_2,y_2), \dots, (x_n,y_n)\}$. Celem dopasowania jest przede wszystkim uzyskanie ocen wartości parametrów a i b opisujących prostą, oraz ich niepewności u(a) i u(b).

W ogólnym przypadku zadanie prowadzi do estymacji współczynników modelu statystycznego:

$y = a_0+a_1 x_1+a_2 x_2+\dots+ a_k x_k+\varepsilon$

gdzie:

• y to zmienna objaśniana
• x_i to zmienne objaśniające
• a_i to współczynniki modelu
• ε to błąd o wartości oczekiwanej zero

Najczęściej wykorzystuje się do tego celu klasyczną metodę najmniejszych kwadratów i jej pochodne. Metoda ta jest najstarsza i najłatwiejsza do zastosowania, choć posiada wady (np. niewielką odporność na elementy odstające), które udało się usunąć w innych, mniej rozpropagowanych metodach. Są to np. odporne metody statystyczne (ang. robust methods), do których należy m.in. regresja medianowa.