Reguła łańcuchowa

Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

Twierdzenie

Niech f i g będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

• f ma w punkcie x pochodną f ′(x), oraz
• g ma w punkcie y = f(x) pochodną g ′(y),

to:

• funkcja złożona gof ma w punkcie x pochodną równą

g ′(f(x))·f ′(x).

Uwagi

Gdyby funkcja $f$ była złożeniem funkcji $h$ i $k$: $f = h \circ k$, to do obliczenia $f^{\prime}$ znów należałoby wykorzystać twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Powstałby zatem „łańcuch” pochodnych:

$g^{\prime}(h(k(x)))\cdot h^{\prime}(k(x))\cdot k^{\prime}(x)$

i stąd nazwa reguły.

Notacja Leibniza

W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli y = f(g(x)), to wprowadzając pomocniczą zmienną t na oznaczenie g(x) mamy y = f(t) i wówczas:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$

Przykłady

Przykład 1

$(\cos x^3)^{\prime}=(-\sin x^3)\cdot(x^3)^{\prime}=(-\sin x^3)\cdot(3x^2)=-3x^2\sin x^3$

Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną "cosinusa" jest "minus sinus" i stąd czynnik -sin x³; jednak argument cosinusa jest funkcją x³, zatem wynik cząstkowy -sin x³ mnożymy przez pochodną tej funkcji czyli 3x².

Przykład 2

$((\sin x^3)^2)^{\prime}=2(\sin x^3)\cdot(\sin x^3)^{\prime}=2(\sin x^3)\cdot(\cos x^3)\cdot(x^3)^{\prime}$$=2(\sin x^3)\cdot(\cos x^3)\cdot3x^2=6x^2\cos x^3\sin x^3$

Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest "podnoszenie zmiennej do kwadratu". Jej pochodna to "dwa razy zmienna" i stąd 2sin x³. Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną: (sin x³)′. Tę obliczamy tak: pochodną "sinusa" jest "cosinus" – stąd (cos x³); jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną (x³)′.

Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.

Przykład 3

Przykład specjalny, pochodna funkcji $f(x)=x^x$. Zauważmy, że:

$x^x = e^{x\ln x}$

skąd

$(x^x)^{\prime}=(e^{x\ln x})^{\prime}=(e^{x\ln x})\cdot(x\ln x)^{\prime}=(e^{x\ln x})\cdot(\ln x+\frac{x}{x})=x^x(\ln x + 1)$

Uogólnienia

Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład, analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami $\mathbb{R}^n$ i $\mathbb{R}^m$ dla pewnych $n,m$ naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:

Niech $X,\; Y,\; Z$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D \subseteq X,\; E \subseteq Y$ będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje $f\colon D \to Y, g\colon E \to Z$, że $f(D)\subseteq E$. Jeśli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0 \in D$, to złożenie $g\circ f$ jest różniczkowalne w punkcie $f(x_0)$ oraz

$d(g\circ f)(x_0)=dg(f(x_0))\circ df(x_0)$.