Reguła Masona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Reguła Masona (wzór Masona, ang. Mason's gain formula, MGF) - metoda znajdywania transmitancji liniowego grafu przepływu sygnałów.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Wzór stanowi alternatywę dla algebraicznej metody znajdywania transmitancji, polega na oznaczeniu każdego sygnału, napisaniu równań opisujących jak sygnał zależy od innych sygnałów a następnie rozwiązaniu kilku równań dla sygnału wyjściowego w kontekście sygnału wejściowego. Reguła Masona to metoda dochodzenia, krok po kroku, do uzyskania transmitancji z grafu przepływu sygnałów. Często wzór Masona w danym przypadku może być określony po zapoznaniu się z grafem przepływu sygnałów. Metoda ta w prosty sposób pozwala na analizę grafów przepływu sygnałów z wieloma zmiennymi i pętlami zawierającymi pętle w tym pętli zawierających już w sobie wewnętrz pętle. Reguła Masona pojawia się często w zagadnienia teorii sterowania i filtrów cyfrowych dlatego, że układy regulacji i filtry cyfrowe są często przedstawiane za pomocą grafów przepływu sygnałów.

Wzór[edytuj | edytuj kod]

Wzor na wzmocnienie przedstawia się następująco:

G = \frac{y_\text{out}}{y_\text{in}} = \frac{ \sum_{k=1}^N  {G_k \Delta _k} }{ \Delta\ }
\Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_iL_j- \sum L_iL_jL_k + \cdots + (-1)^m \sum \cdots +\cdots

gdzie:

  • Δ = wyznacznik grafu
  • yin = zmienna węzła wejściowego
  • yout = zmienna węzła wyjściowego
  • G = całkowite wzmocnienie pomiędzy yin i yout
  • N = całkowita liczba ścieżek w przód pomiędzy yin i yout
  • Gk = wzmocnienie k - tej ścieżki w przód pomiędzy yin i yout
  • Li = wzmocnienie pętli każdej z zamkniętych pętli w układzie
  • LiLj = iloczyn wzmocnień pętli każdych dwóch (wszystkich zbiorów) niestykających się pętli (nie mających wspólnych węzłów)
  • LiLjLk = iloczyn wzmocnień pętli każdych trzech niestykających się pętli
  • Δk = współczynnik wartości Δ dla ktej ścieżki do przodu, z usuniętymi pętlami stykającymi się z k scieżką w przód - to znaczy: usuwamy te części grafów, które tworzą pętle, pozostawiając części potrzebne dla ścieżki w przód.

Procedura[edytuj | edytuj kod]

Aby skorzystać z omawianej metody:

  • Należy przygotować listę wszystkich ścieżek w przód i oznakować je Gk.
  • Należy:
    • przygotować listę wszystkich pętli i ich wzmocnień i oznakować je Li (dla i pętli);
    • przygotować listę wszystkich par niestykających się pętli i iloczynów ich wzmocnień (LiLj);
    • przygotować listę wszystkich niestykających się pętli branych za każdym razem potrójnie (LiLjLk);
    • następnie za każdym razem poczwórnie;
    • itd. aż już nie ma nic do wzięcia.
  • Obliczyć współczynnik Δ i współczynniki Δk.
  • Zastosować wzór.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Wzór został wyprowadzony przez Samuela Jeffersona Masona i opublikowany w 1956 roku[1].

Przypisy

  1. Samuel J. Mason: Feedback Theory - Further Properties of Signal Flow Graphs, Proceedings of the IRE. July 1956, s. 920–926.