Reguła de l'Hospitala

Reguła de l'Hospitala (twierdzenie de l'Hospitala) – twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego pozwalające wyznaczać granice tzw. wyrażeń nieokreślonych.

Reguła ta została odkryta przez Jana Bernoulliego, zaś opublikowana przez jego ucznia Guillaume'a François Antoine'a markiza de l'Hospital. (Ze względu na zmiany pisowni francuskiej nazwisko de l'Hospital można również pisać "l'Hôpital" bez (niemego) "s", za to z charakterystycznym haczykiem zwanym cirkumfleksem.) W 1696 Guillaume de l'Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, w którym dyskutowane tu twierdzenie było zawarte. De l'Hospital nigdy nie twierdził, że jest on autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa Reguła de l'Hospitala jest powszechnie przyjęta.

Reguła l'Hospitala

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje f i g są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt a oraz

1. $\lim_{x\to a}f(x)=0$,
2. $\lim_{x\to a}g(x)=0$,

lub

1. $\lim_{x\to a}f(x)= \pm\infty$,
2. $\lim_{x\to a}g(x)= \pm\infty$,

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime}(a)$ i $g^{\prime}(a)$, przy czym $g^{\prime}(a)\neq 0$, wówczas

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$.

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji. Dla przykładu

$\lim_{x\to 0}\tfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}= \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})}{\tfrac{-1}{e-x}+1} = \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})}{\tfrac{-1+(e-x)}{e-x}} =\lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}=\tfrac{2e}{e-1}$.

Często zdarza się jednak, że funkcje f i g nie są określone w punkcie a jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie zwane regułą l'Hospitala:

Wersja podstawowa

Niech funkcje f i g będą określone w przedziale (a,b] oraz

1. $\lim_{x\to a^+}f(x)=0$,
2. $\lim_{x\to a^+}g(x)=0$,

lub

1. $\lim_{x\to a^+}f(x)= \pm\infty$,
2. $\lim_{x\to a^+}g(x)= \pm\infty$,

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime}$ i $g^{\prime}$ w przedziale (a,b], przy czym $g^{\prime}(x)\neq 0$ dla $x\in (a,b]$. Wówczas, jeśli istnieje granica

$\lim_{x\to a^+}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=K$,

to wtedy również

$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=K$.

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic niewłaściwych

Niech funkcje f i g będą określone w przedziale $[c,\infty)$ oraz

1. $\lim_{x\to \infty}f(x)=0$,
2. $\lim_{x\to \infty}g(x)=0$,

lub

1. $\lim_{x\to \infty}f(x)= \pm\infty$,
2. $\lim_{x\to \infty}g(x)= \pm\infty$,

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime}$ i $g^{\prime}$ w przedziale $[c,\infty)$, przy czym $g^{\prime}(x)\neq 0$ dla $x\in [c,\infty)$. Wówczas, jeśli istnieje granica

$\lim_{x\to \infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=K$,

to wtedy również

$\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K$.

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy $x\to -\infty$.

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych

Jeżeli funkcje f i g są określone w przedziale otwartym I zawierającym punkt a oraz

1. w przedziale I istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do n włącznie funkcji f i g,
2. $f(a)=f'(a)=\ldots=f^{(n-1)}(a)=0$, $g(a)=g'(a)=\ldots=g^{(n-1)}(a)=0$, oraz $g^{(n)}(a)\neq 0$,
3. $g(x)\neq 0$ dla $x\in I\setminus\{a\}$,

wówczas

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}$.

Zastosowania

• Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie stosując podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:

$\lim_{x \to 0}~\frac{\sin x}{x}=\left[ \frac{\sin 0}{0} \right]=\left[ \frac{0}{0} \right]$

W takim przypadku stosujemy regułę de l'Hospitala zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne:

$\lim_{x \to 0}~\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}~\frac{\cos x}{1}=\frac{1}{1}=1$

• Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji. Może się jednak zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu funkcji.
• Niekiedy należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych, aby uzyskać wynik.

Zobacz też

• granica funkcji
• pochodna funkcji
• symbol nieoznaczony
• twierdzenie Stolza

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: PWN, 1966.