Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle {\color {BurntOrange}f(x)}={\color {BurntOrange}\sin(x)}}
i
g
(
x
)
=
−
0
,
5
x
:
{\displaystyle {\color {Red}g(x)}={\color {Red}-0{,}5x}{:}}
funkcja
h
(
x
)
=
f
(
x
)
/
g
(
x
)
{\displaystyle {\color {Brown}h(x)}={\color {BurntOrange}f(x)}/{\color {Red}g(x)}}
jest nieokreślona w punkcie
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
ale może być kontynuowana jako funkcja ciągła w całym zbiorze
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
z wykorzystaniem definicji
h
(
0
)
=
f
′
(
0
)
/
g
′
(
0
)
=
−
2.
{\displaystyle {\color {Brown}h(0)}={\color {RoyalBlue}f'(0)}/{\color {Blue}g'(0)}=-2.}
Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala [a] – zwyczajowa nazwa twierdzenia rachunku różniczkowego , które umożliwia wyznaczenie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony .
Reguła ta została opisana po raz pierwszy przez Johanna Bernoulliego , opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a de l’Hospitala [a] . W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes , w którym zawarte zostało dyskutowane tu twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia[potrzebny przypis ] , niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.
Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:
Jeżeli funkcje
f
{\displaystyle f}
i
g
{\displaystyle g}
są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt
a
{\displaystyle a}
oraz
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0,}
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0,}
oraz istnieją (skończone) pochodne
f
′
(
a
)
{\displaystyle f'(a)}
i
g
′
(
a
)
,
{\displaystyle g'(a),}
przy czym
g
′
(
a
)
≠
0
,
{\displaystyle g'(a)\neq 0,}
wówczas
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
′
(
a
)
g
′
(
a
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.}
Jeśli dodatkowo
f
{\displaystyle f}
i
g
{\displaystyle g}
mają ciągłe pochodne w punkcie
a
,
{\displaystyle a,}
to[1] :
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}
Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.
lim
x
→
0
e
x
−
e
−
x
ln
(
e
−
x
)
+
x
−
1
=
lim
x
→
0
(
e
x
+
e
−
x
)
−
1
e
−
x
+
1
=
lim
x
→
0
(
e
x
+
e
−
x
)
−
1
+
(
e
−
x
)
e
−
x
=
lim
x
→
0
(
e
x
+
e
−
x
)
(
e
−
x
)
−
1
+
(
e
−
x
)
=
2
e
e
−
1
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{{\tfrac {-1}{e-x}}+1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{\tfrac {-1+(e-x)}{e-x}}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}}={\tfrac {2e}{e-1}}.}
Często zdarza się jednak, że funkcje
f
{\displaystyle f}
i
g
{\displaystyle g}
nie są określone w punkcie
a
,
{\displaystyle a,}
jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala :
Wersja podstawowa (dla granic w punkcie) [ edytuj | edytuj kod ]
Niech funkcje
f
{\displaystyle f}
i
g
{\displaystyle g}
będą określone w przedziale
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
oraz
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=0,}
lim
x
→
a
+
g
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=0,}
lub
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
=
±
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}
lim
x
→
a
+
g
(
x
)
=
±
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty ,}
oraz istnieją (skończone) pochodne
f
′
{\displaystyle f'}
i
g
′
{\displaystyle g'}
w przedziale
(
a
,
b
]
,
{\displaystyle (a,b],}
przy czym
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x)\neq 0}
dla
x
∈
(
a
,
b
]
.
{\displaystyle x\in (a,b].}
Wówczas, jeśli istnieje granica
lim
x
→
a
+
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
K
,
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}
to wtedy również
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
g
(
x
)
=
K
.
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}
Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.
Wersja dla granic w nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ]
Niech funkcje
f
{\displaystyle f}
i
g
{\displaystyle g}
będą określone w przedziale
[
c
,
∞
)
{\displaystyle [c,\infty )}
oraz
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0,}
lim
x
→
∞
g
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=0,}
lub
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
±
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty ,}
lim
x
→
∞
g
(
x
)
=
±
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty ,}
oraz istnieją (skończone) pochodne
f
′
{\displaystyle f'}
i
g
′
{\displaystyle g'}
w przedziale
[
c
,
∞
)
,
{\displaystyle [c,\infty ),}
przy czym
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x)\neq 0}
dla
x
∈
[
c
,
∞
)
.
{\displaystyle x\in [c,\infty ).}
Wówczas, jeśli istnieje granica
lim
x
→
∞
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
K
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}
to wtedy również
lim
x
→
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
K
.
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}
Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy
x
→
−
∞
.
{\displaystyle x\to -\infty .}
Wersja twierdzenia dla funkcji n -krotnie różniczkowalnych [ edytuj | edytuj kod ]
Jeżeli funkcje
f
{\displaystyle f}
i
g
{\displaystyle g}
są określone w przedziale otwartym
I
{\displaystyle I}
zawierającym punkt
a
{\displaystyle a}
oraz
w przedziale
I
{\displaystyle I}
istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do
n
{\displaystyle n}
włącznie funkcji
f
{\displaystyle f}
i
g
,
{\displaystyle g,}
f
(
a
)
=
f
′
(
a
)
=
…
=
f
(
n
−
1
)
(
a
)
=
0
,
{\displaystyle f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,}
g
(
a
)
=
g
′
(
a
)
=
…
=
g
(
n
−
1
)
(
a
)
=
0
,
{\displaystyle g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,}
oraz
g
(
n
)
(
a
)
≠
0
,
{\displaystyle g^{(n)}(a)\neq 0,}
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
dla
x
∈
I
∖
{
a
}
,
{\displaystyle x\in I\setminus \{a\},}
wówczas
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
(
n
)
(
x
)
g
(
n
)
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}}.}
↑ a b Ze względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal].
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , L'Hospital's Rule , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2022-06-20].
L'Hospital rule (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].