Reguła de l'Hospitala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Reguła de l'Hospitala lub de l'Hôpitala (twierdzenie de l'Hospitala lub de l'Hôpitala) – twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego pozwalające wyznaczać granice tzw. wyrażeń nieokreślonych.

Reguła ta została odkryta przez Jana Bernoulliego, zaś opublikowana przez jego ucznia Guillaume'a François Antoine'a markiza de l'Hospital[1]. W 1696 Guillaume de l'Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, w którym dyskutowane tu twierdzenie było zawarte. De l'Hospital nigdy nie twierdził, że jest on autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa Reguła de l'Hospitala jest powszechnie przyjęta.

Reguła l'Hospitala[edytuj | edytuj kod]

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje f i g są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt a oraz

  1. \lim_{x\to a}f(x)=0,
  2. \lim_{x\to a}g(x)=0,

lub

  1. \lim_{x\to a}f(x)= \pm\infty ,
  2. \lim_{x\to a}g(x)= \pm\infty ,

oraz istnieją (skończone) pochodne f^{\prime}(a) i g^{\prime}(a), przy czym g^{\prime}(a)\neq 0, wówczas

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}.

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji. Dla przykładu

\lim_{x\to 0}\tfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}= \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})}{\tfrac{-1}{e-x}+1} = \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})}{\tfrac{-1+(e-x)}{e-x}} =\lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}=\tfrac{2e}{e-1}.

Często zdarza się jednak, że funkcje f i g nie są określone w punkcie a jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie zwane regułą l'Hospitala:

Wersja podstawowa[edytuj | edytuj kod]

Niech funkcje f i g będą określone w przedziale (a,b] oraz

  1. \lim_{x\to a^+}f(x)=0,
  2. \lim_{x\to a^+}g(x)=0,

lub

  1. \lim_{x\to a^+}f(x)= \pm\infty ,
  2. \lim_{x\to a^+}g(x)= \pm\infty ,

oraz istnieją (skończone) pochodne f^{\prime} i g^{\prime} w przedziale (a,b], przy czym g^{\prime}(x)\neq 0 dla x\in (a,b]. Wówczas, jeśli istnieje granica

\lim_{x\to a^+}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=K,

to wtedy również

\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=K.

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic niewłaściwych[edytuj | edytuj kod]

Niech funkcje f i g będą określone w przedziale [c,\infty) oraz

  1. \lim_{x\to \infty}f(x)=0,
  2. \lim_{x\to \infty}g(x)=0,

lub

  1. \lim_{x\to \infty}f(x)= \pm\infty ,
  2. \lim_{x\to \infty}g(x)= \pm\infty ,

oraz istnieją (skończone) pochodne f^{\prime} i g^{\prime} w przedziale [c,\infty), przy czym g^{\prime}(x)\neq 0 dla x\in [c,\infty). Wówczas, jeśli istnieje granica

\lim_{x\to \infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=K,

to wtedy również

\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K.

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy x\to -\infty.

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcje f i g są określone w przedziale otwartym I zawierającym punkt a oraz

  1. w przedziale I istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do n włącznie funkcji f i g,
  2. f(a)=f'(a)=\ldots=f^{(n-1)}(a)=0, g(a)=g'(a)=\ldots=g^{(n-1)}(a)=0, oraz g^{(n)}(a)\neq 0,
  3. g(x)\neq 0 dla x\in I\setminus\{a\},

wówczas

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie stosując podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:
\lim_{x \to 0}~\frac{\sin x}{x}=\left[ \frac{\sin 0}{0} \right]=\left[ \frac{0}{0} \right]

W takim przypadku stosujemy regułę de l'Hospitala zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne:

\lim_{x \to 0}~\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}~\frac{\cos x}{1}=\frac{1}{1}=1

Uwaga: nie jest to dowód!

  • Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji. Może się jednak zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu funkcji.
  • Niekiedy należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych, aby uzyskać wynik.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Ze względu na zmiany pisowni francuskiej nazwisko de l'Hospital można również pisać "l'Hôpital" bez (niemego) „s”, za to z charakterystycznym haczykiem zwanym cirkumfleksem