Reguła równoległoboku

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy zależności w równoległoboku. Zobacz też: metoda równoległoboku dodawania wektorów.
Równoległobok. Boki zaznaczono kolorem niebieskim, przekątne – kolorem czerwonym.

Reguła równoległoboku – prawo matematyczne, którego najprostsza postać należy do geometrii elementarnej. Reguła ta mówi, iż suma kwadratów długości czterech boków równoległoboku równa jest sumie kwadratów długości dwóch przekątnych. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok można zapisać ją wzorem

(AB)^2 + (BC)^2 + (CD)^2 + (DA)^2 = (AC)^2 + (BD)^2.

Jeżeli równoległobok jest prostokątem, to przekątne mają równe długości, a twierdzenie sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa. W ogólności jednak kwadrat długości żadnej z przekątnych nie jest sumą kwadratów długości dwóch boków.

Przestrzenie unitarne[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeniach unitarnych wyrażenie reguły równoległoboku sprowadza się do tożsamości algebraicznej nazywanej często właśnie tożsamością równoległoboku:

2\|\mathbf x\|^2 + 2\|\mathbf y\|^2 = \|\mathbf x + \mathbf y\|^2 + \|\mathbf x - \mathbf y\|^2,

gdzie

\|\mathbf x\|^2 = \langle \mathbf x, \mathbf x \rangle.

Przestrzenie unormowane[edytuj | edytuj kod]

Większość rzeczywistych i zespolonych unormowanych przestrzeni liniowych nie jest wyposażonych w iloczyny skalarne, ale we wszystkich określone są normy (stąd nazwa). Z tego powodu można obliczyć wartości wyrażeń po obu stronach powyższej równości. Ważnym faktem jest, iż jeżeli spełniona jest powyższa tożsamość, to norma musiała powstać w standardowy sposób z pewnego iloczynu skalarnego (została przez niego indukowana). Dodatkowo iloczyn skalarny ją generujący wyznaczony jest jednoznacznie, co jest konsekwencją tożsamości polaryzacyjnej; w przypadku rzeczywistym dany jest on wzorem

\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = {\|\mathbf x + \mathbf y\|^2 - \|\mathbf x - \mathbf y\|^2 \over 4}

lub, równoważnie,

{\|\mathbf x + \mathbf y\|^2 - \|\mathbf x\|^2 - \|\mathbf y\|^2 \over 2} albo {\|\mathbf x\|^2 + \|\mathbf y\|^2 - \|\mathbf x - \mathbf y\|^2 \over 2}.

W przypadku zespolonym wzór ma postać:

\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = {\|\mathbf x + \mathbf y\|^2 - \|\mathbf x - \mathbf y\|^2 \over 4} + i{\|i\mathbf x - \mathbf y\|^2 - \|i\mathbf x + \mathbf y\|^2 \over 4}.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]