Reguła znaków Kartezjusza

Reguła znaków Kartezjusza - udowodnione przez Kartezjusza twierdzenie, które pozwala oszacować liczbę dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu.

Reguła znaków stwierdza, że jeżeli wielomian jednej zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach jest uporządkowany według malejących potęg zmiennej, to liczba dodatnich pierwiastków tego wielomianu (liczonych wraz z "krotnością") jest albo równa liczbie zmian znaków między kolejnymi niezerowymi współczynnikami wielomianu, albo mniejsza od niej o krotność liczby 2. Jako wniosek wypływa stąd stwierdzenie, że liczba ujemnych pierwiastków jest równa liczbie odpowiednich zmian znaków w wielomianie, w którym zamieniono na przeciwne współczynniki przy nieparzystych potęgach zmiennej, lub mniejsza od niej o krotność liczby 2.

Przykłady

W wielomianie

$x^2 - 2 x + 1 \,$

mamy dwie zmiany znaku zatem nasz wielomian ma zero lub dwa dodatnie pierwiastki (w istocie ma jeden 2-krotny)

$x^3 + x^2 - x - 1 \,$

mamy jedną zmianę znaku między drugim, a trzecim składnikiem. Stąd, wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Widać to wyraźnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki:

$(x + 1)^{2}(x - 1), \,$

−1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, jedynym dodatnim jest 1.

Zmieniając znak na przeciwny przy nieparzystych potęgach wielomianu, otrzymujemy wielomian:

$-x^3 + x^2 + x - 1. \,$

Tu znak zmienia się dwukrotnie, między pierwszym a drugim oraz między trzecim a czwartym składnikiem. Zatem wielomian wyjściowy ma dwa lub zero pierwiastków ujemnych.

Podobnie, kolejne współczynniki wielomianu:

$x^4+2x^3-x^2+5x-1$

mają znaki: +, +, -, +, -, tzn. znak zmienia się trzy razy. Zgodnie z regułą Kartezjusza wielomian ma bądź trzy, bądź jeden pierwiastek dodatni. Ponieważ po zastąpieniu $x$ przez $-x$ pierwiastki wielomianu zmieniają znaki, a po zastąpieniu $x$ przez $x+h$ pierwiastki zmniejszają się o $h,$ to za pomocą reguły Kartezjusza można również oszacować liczbę pierwiastków większych lub równych $h.$ W powyższym przykładzie zastąpienie $x$ przez $-x$ daje:

$x^4-2x^3-x^2-5x-1,$

tzn. wyjściowy wielomian ma jeden pierwiastek ujemny, a zastąpienie $x$ przez $x+1$ daje:

$x^4+6x^3+11x^2+13x+6,$

skąd wniosek, że dany wielomian nie ma pierwiastków większych lub równych 1.

Zobacz też

• Twierdzenie Sturma

Bibliografia

• I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wydawnictwo Naukowe PWN.