Reguła znaków Kartezjusza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Reguła znaków Kartezjusza - udowodnione przez Kartezjusza twierdzenie, które pozwala oszacować liczbę dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu.

Reguła znaków stwierdza, że jeżeli wielomian jednej zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach jest uporządkowany według malejących potęg zmiennej, to liczba dodatnich pierwiastków tego wielomianu (liczonych wraz z "krotnością") jest albo równa liczbie zmian znaków między kolejnymi niezerowymi współczynnikami wielomianu, albo mniejsza od niej o krotność liczby 2. Jako wniosek wypływa stąd stwierdzenie, że liczba ujemnych pierwiastków jest równa liczbie odpowiednich zmian znaków w wielomianie, w którym zamieniono na przeciwne współczynniki przy nieparzystych potęgach zmiennej, lub mniejsza od niej o krotność liczby 2.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W wielomianie


x^2 - 2 x + 1 \,

mamy dwie zmiany znaku zatem nasz wielomian ma zero lub dwa dodatnie pierwiastki (w istocie ma jeden 2-krotny)

x^3 + x^2 - x - 1 \,

mamy jedną zmianę znaku między drugim, a trzecim składnikiem. Stąd, wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Widać to wyraźnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki:

(x + 1)^{2}(x - 1), \,

−1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, jedynym dodatnim jest 1.

Zmieniając znak na przeciwny przy nieparzystych potęgach wielomianu, otrzymujemy wielomian:

-x^3 + x^2 + x - 1. \,

Tu znak zmienia się dwukrotnie, między pierwszym a drugim oraz między trzecim a czwartym składnikiem. Zatem wielomian wyjściowy ma dwa lub zero pierwiastków ujemnych.

Podobnie, kolejne współczynniki wielomianu:

 x^4+2x^3-x^2+5x-1

mają znaki: +, +, -, +, -, tzn. znak zmienia się trzy razy. Zgodnie z regułą Kartezjusza wielomian ma bądź trzy, bądź jeden pierwiastek dodatni. Ponieważ po zastąpieniu  x przez  -x pierwiastki wielomianu zmieniają znaki, a po zastąpieniu  x przez  x+h pierwiastki zmniejszają się o  h, to za pomocą reguły Kartezjusza można również oszacować liczbę pierwiastków większych lub równych  h. W powyższym przykładzie zastąpienie  x przez  -x daje:

x^4-2x^3-x^2-5x-1,

tzn. wyjściowy wielomian ma jeden pierwiastek ujemny, a zastąpienie  x przez  x+1 daje:

x^4+6x^3+11x^2+13x+6,

skąd wniosek, że dany wielomian nie ma pierwiastków większych lub równych 1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]