Regula falsi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Dwie pierwsze iteracje algorytmu, dla przykładowej funkcji (oznaczona na czerwono); na niebiesko zaznaczono sieczne

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) — algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.

Na funkcję y=f(x) nakładane są następujące ograniczenia:

  1. W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
  2. Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: f(a)f(b) < 0.
  3. Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

  • Na początku przez punkty A=(a, f(a)) i B=(b, f(b)) przeprowadzana jest cięciwa.
  • Punkt przecięcia x_1 z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
  • Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
  • Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty (x_1, f(x_1)) oraz A lub B – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do f(x_1). Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
  • Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX (x_i) i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula1 znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy — metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako "fałszywa linia prosta" jak i "fałszywa reguła" i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

Wzory[edytuj | edytuj kod]

x_{1}=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}

x_{i+1}=\left\{\begin{matrix} \frac{x_i f(a) - a f(x_i)}{f(a) - f(x_i)} & gdy &f(a)f(x_i)\le 0 \\ \\ \frac{x_i f(b) - b f(x_i)}{f(b) - f(x_i)} & gdy&f(b)f(x_i)<0 \end{matrix}\right.

dla i=1,2,...


Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]