Regula falsi

Dwie pierwsze iteracje algorytmu, dla przykładowej funkcji (oznaczona na czerwono); na niebiesko zaznaczono sieczne

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) — algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.

Na funkcję $y=f(x)$ nakładane są następujące ograniczenia:

1. W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
2. Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: $f(a)f(b) < 0$.
3. Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

• Na początku przez punkty $A=(a, f(a))$ i $B=(b, f(b))$ przeprowadzana jest cięciwa.
• Punkt przecięcia $x_1$ z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
• Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
• Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty $(x_1, f(x_1))$ oraz $A$ lub $B$ – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do $f(x_1)$. Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
• Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX ($x_i$) i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula¹ znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy — metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako "fałszywa linia prosta" jak i "fałszywa reguła" i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

Wzory

$x_{1}=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}$

$x_{i+1}=\left\{\begin{matrix} \frac{x_i f(a) - a f(x_i)}{f(a) - f(x_i)} & gdy &f(a)f(x_i)\le 0 \\ \\ \frac{x_i f(b) - b f(x_i)}{f(b) - f(x_i)} & gdy&f(b)f(x_i)<0 \end{matrix}\right.$

dla $i=1,2,...$

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:

• metoda bisekcji
• metoda siecznych
• Metoda Newtona (metoda stycznych)
• algorytm Illinois (zmodyfikowana metoda siecznych)

Linki zewnętrzne

• http://www.algorytm.org/index.php?option=com_content&task=view&id=79&Itemid=28