Regularność funkcji

Niech funkcja $f\colon\mathcal{U}\to{}\mathbb{R}$, gdzie $\mathcal{U}\subseteq{}\mathbb{R}^n$. Funkcja $f$ jest regularna rzędu $k \in \mathbb{N}\cup\{\infty\}$ (jest klasy $C^k(\mathcal{U})$), co oznaczamy $f \in C^k(\mathcal{U})$, jeśli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji $f$, do rzędu $k$ włącznie, są ciągłe i istnieją w całej dziedzinie $\mathcal{U}$.

Regularność $f \in C^0$ oznacza, że funkcja $f$ jest ciągła. Funkcję $f \in C^{\infty}$ nazywa się funkcją gładką, jest ona dowolnie wysokiej regularności, tj. istnieją pochodne wszystkich rzędów i są ciągłe. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie $C^\omega$.

Przykłady

1. Funcja moduł $f(x)\!=\!|x|$ jest ciągła w każdym punkcie, pochodna $f'(0)$ nie istnieje, więc $f \in C^0$, ale $f \notin C^1$.
2. Funcja $g(x)=e^{5x}$ jest różniczkowalna dowolnie wiele razy, zatem $g \in C^{\infty}$.
3. Funkcja:

$f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(1/x)} & \mbox{dla }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{dla }x = 0\end{cases}$

ma pochodną określoną w całej dziedzinie, ale pochodna ta nie jest ciągła w punkcie x=0, nie jest więc klasy $C^1(\mathbb{R})$.