Regularyzacja funkcją dzeta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Regularyzacja funkcją dzeta – w matematyce i fizyce teoretycznej to rodzaj regularyzacji lub metoda sumowania, która przypisuje skończone wartości dla rozbieżnych szeregów lub iloczynów. Sposób ten jest obecnie powszechnie stosowany do rozwiązywania problemów fizycznych, lecz pierwotnie wywodzi się z prób nadania dokładnych znaczeń dla źle uwarunkowanych sum w teorii liczb.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele różnych metod sumowania określanych mianem regularyzacji funkcją dzeta stosowanych do obliczenia wartości potencjalnie rozbieżnych szeregów a1 + a2 + ….

Jedną z metod jest zdefiniowanie sumy regularyzowanej funkcją dzeta jako ζA(−1), gdzie funkcja dzeta jest zdefiniowana dla dużych Re(s) jako

 \zeta_A(s) = \frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s} +\cdots

dla s w których ten szereg jest zbieżny, lub stosując przedłużenie analityczne tej funkcji dla pozostałych wartości. W przypadku gdy an = n zastosowana funkcja dzeta staje się zwykłą funkcją dzeta Riemanna. Taką metodę zastosował Euler do „zsumowania” szeregu 1 + 2 + 3 + 4 + … obliczając ζ(−1) = −1/12.

Inną metodą jest zdefiniowanie potencjalnie rozbieżnego iloczynu a1a2… jako exp(−ζ′A(0)). Ray i Sinker[1] zastosowali tę metodę aby określić wyznacznik dodatniego operatora A (laplasjanu rozmaitości riemannowskiej w ich zastosowaniu) z wartościami własnymi a1, a2, …. W tym konkretnym przypadku funkcja dzeta jest formalnie śladem As.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Przykładem zastosowania regularyzacji funkcją dzeta jest wyznaczenie wartości oczekiwanej energii próżni w kwantowej teorii pola. Uogólniając, funkcją dzeta można zastosować do regularyzacji całego tensora napięć-energii w zakrzywionej czasoprzestrzeni[2][3].

Nieuregulowana wartość energii jest wyznaczona jako suma wszystkich stanów wzbudzonych energii punktu zerowego:

\langle 0|T_{00} |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2}

w którym, T_{00} jest zerowym składnikiem tensora napięć a suma (która może być całką) jest rozumiana jako rozszerzenie na wszystkie (dodatnie i ujemne) stany energetyczne \omega_n; moduł podkreśla, że liczona jest energia całkowita. Suma ta, zapisana w tej postaci, jest zazwyczaj nieskończona (typowo \omega_n jest w zależności liniowej z n). Może ona być uregularyzowana przez zapisanie jako

\langle 0|T_{00}(s) |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2} |\omega_n|^{-s}

gdzie s jest jakimś parametrem w dziedzinie liczb zespolonych. Dla liczb rzeczywistych s większych niż 4 (dla przestrzeni trójwymiarowej), suma ta staje się skończona, a więc często może być wyliczona teoretycznie.

Taka suma ma zwykle biegun dla s = 4, z powodu masowego udziału pola kwantowego w przestrzeni trójwymiarowej. Jednak, dzięki przedłużeniu analitycznemu udaje się uzyskać wartości dla s = 0, w którym funkcja już bieguna nie ma, a więc wartość wyrażenia jest skończona. Szczegółową analizę tego rozwiązania można znaleźć w pracach na temat efektu Casimira.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. „Advances in Math.”. 7, s. 145–210, 1971. doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4. 
  2. V. Moretti, Direct z-function approach and renormalization of one-loop stress tensor in curved spacetimes, Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
  3. A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti i S. Zerbini: Analytic Aspects of Quantum Fields. World Scientific Publishing, 2003. ISBN 981-238-364-6.