Relacja antysymetryczna

Relacja antysymetryczna (relacja słabo antysymetryczna) – dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par $(x, y)$ i $(y, x)$ dla różnych $x$ i $y$. Formalnie, relację dwuczłonową $\varrho \subset X\times X$ nazywamy antysymetryczną, gdy:

$(\forall x, y \in X)( x\;\varrho\; y \and y \;\varrho\; x \; \Rightarrow \; x = y)$.

Innymi słowy, dla każdych dwóch elementów ze zbioru na którym określono relację antysymetryczną, jeśli te dwa elementy pozostają ze sobą w tej relacji bez względu na ich kolejność, to elementy te są identyczne (tzn. jest to ten sam element).

Powyższe zdanie jest kontrapozycją warunku przedstawionego we wstępie: jeśli dwa elementy są różne, to relacja antysymetryczna między nimi nie zachodzi przynajmniej w jedną stronę (dla $x \ne y$ przynajmniej jedna z par $(x, y)$ i $(y, x)$ nie należy do relacji).

Obie nazwy, "relacja antysymetryczna" i "relacja słabo antysymetryczna", są w użyciu. Na przykład, Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski podają pierwszą nazwę, ale Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz używają drugiej.

Przykłady

• Relacja równości w dowolnym zbiorze.
• Relacja porządku w alfabecie łacińskim – dla dowolnie wybranych dwu różnych liter nie może jedna z nich występować w alfabecie jednocześnie wcześniej i później niż druga (to samo tyczy wszelkich porządków).

Zobacz też

• relacja (matematyka)
• relacja zwrotna
• relacja symetryczna
• relacja przeciwsymetryczna