Relacja spójna

Relacja spójna (liniowa) – dwuczłonowa relacja $\varrho \subset X \times X$ spełniająca następujący warunek:

$(\forall x,y \in X)((x,y) \in \varrho \, \or \, (y,x) \in \varrho \, \or \, x=y )$.

Innymi słowy, relacja dwuczłonowa na zbiorze $X$ jest relacją spójną, jeśli dla każdych dwóch różnych elementów $x,y\in X$ mamy, że $x$ jest w relacji z $y$ lub $y$ jest w relacji z $x$.

Dokładna terminologia tematu nie jest ustalona. Powyższą definicję podaliśmy za Wojciechem Guzickim i Piotrem Zakrzewskim (zobacz też zbiór zadań Wiktora Marka i Janusza Onyszkiewicza). Niektórzy autorzy używają nieco odmiennej definicji relacji spójnej, podając następujący warunek jako jej definicję:

$(\forall x,y \in X)((x,y) \in \varrho \, \or \, (y,x) \in \varrho)$.

Należy zauważyć, że ta druga definicja spójności relacji implikuje, że relacja jest zwrotna, podczas gdy nasza główna definicja nie implikuje tej własności.

Przykłady

Przykładem relacji spójnej jest relacja $\leqslant$ na zbiorze liczb naturalnych. Jeśli weźmiemy dowolne dwie liczby naturalne to zawsze jedna z nich jest nie większa od drugiej.

Przykładem relacji, która nie jest spójna, jest relacja podzielności na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Na przykład żadna para różnych liczb pierwszych nie spełnia takiej relacji.

Relacja pełna jest spójna. Relacja pusta nie jest spójna, o ile nie jest określona na zbiorze pustym.

Zobacz też

• porządek liniowy