Relacje Greena

Relacje Greena – pięć relacji równoważności definiowanych na dowolnej półgrupie, związanych z pojęciem ideału głównego. Relacje te oznaczane są symbolami $\mathcal{L,\,R,\,D,\,J}$ i $\mathcal{H}.$ Relacje $\mathcal{L,\,R}$ i $\mathcal{J}$ to relacje generowania tego samego ideału, odpowiednio lewo-, prawo- i obustronnego. Relacja $\mathcal{H}$ jest przecięciem $\mathcal{L}$ i $\mathcal{R}.$ Relacja $\mathcal{D}$ to złożenie tych relacji. Relacje te zostały wprowadzone przez Jamesa A. Greena w 1951 roku.

Definicja

Niech $S$ będzie półgrupą i $a,\,b\in{S}.$ Przez $S^1=S\cup\{1\}$ oznaczamy półgrupę $S$ z jedynką dołączoną, jeśli jej wcześniej nie było.

Wtedy

• $a\mathcal{L}b \iff S^1a=S^1b$ ($a$ i $b$ generują ten sam lewostronny ideał główny);

• $a\mathcal{R}b \iff aS^1=bS^1$ ($a$ i $b$ generują ten sam prawostronny ideał główny);

• $\mathcal{D}=\mathcal{L}\circ\mathcal{R}=\mathcal{R}\circ\mathcal{L}$ (relacja $\mathcal{D}$ jest złożeniem relacji $\mathcal{L}$ i $\mathcal{R}$);

• $a\mathcal{J}b \iff S^1aS^1=S^1bS^1$ ($a$ i $b$ generują ten sam obustronny ideał główny);

• $\mathcal{H}=\mathcal{L}\cap\mathcal{R}.$

Pokazuje się, że wszystkie z tych relacji są relacjami równoważności. (Jest to natychmiastowe w przypadku $\mathcal{L},\,\mathcal{R},\,\mathcal{J}$ i $\mathcal{H}.$ Przypadek $\mathcal{D}$ jest nieco trudniejszy i dowód można znaleźć na przykład w [2] - zob. sekcję Bibliografia.)

Oznaczenia

Niech $a\in S$ i $S$ niech będzie półgrupą. Wtedy oznaczamy:

• $\mathrm{L}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{L}a\right\}$ jest klasą abstrakcji elementu $a$ w relacji $\mathcal{L}$

i analogicznie:

• $\mathrm{R}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{R}a\right\},$
• $\mathrm{D}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{D}a\right\},$
• $\mathrm{J}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{J}a\right\}$ i
• $\mathrm{H}_a=\left\{x\in S|\,x\mathcal{H}a\right\}$

są klasami abstracji elementu $a$ odpowiednio w relacjach $\mathcal{R},\,\mathcal{D},\,\mathcal{J}$ i $\mathcal{H}.$

Przykłady

• W dowolnej grupie $G$ mamy
  • $\mathcal{H}=\mathcal{L}=\mathcal{R}=\mathcal{D}=\mathcal{J}=G\times G.$
• W nieskończonej półgrupie cyklicznej $\left(\mathbb{N},+\right)$ mamy
  • $\mathcal{H}=\mathcal{L}=\mathcal{R}=\mathcal{D}=\mathcal{J}=\left\{(x,x)|\,x\in \mathbb{N}\right\},$
• Ten sam wzór jest prawdziwy dla półgrupy $\left(\mathbb{N},\cdot\right),$
• W pełnej półgrupie transformacji zbioru $X$ oznaczanej symbolem $\mathcal{T}_X$ mamy
  • $\mathcal{L}=\left\{(\alpha,\beta)\in\mathcal{T}_X\times\mathcal{T}_X|\,X\alpha=X\beta\right\},$
  • $\mathcal{R}=\left\{(\alpha,\beta)\in\mathcal{T}_X\times\mathcal{T}_X|\,\pi_{\alpha}=\pi_{\beta}\right\},$ gdzie $\pi_{\phi}$ oznacza jądro $\phi$ dla dowolnego $\phi\in\mathcal{T}_X,$
  • $\mathcal{D}=\mathcal{J}=\left\{(\alpha,\beta)\in\mathcal{T}_X\times\mathcal{T}_X|\,|X\alpha|=|X\beta|\right\}.$
• Analogiczne wzory zachodzą dla półgrupy transformacji liniowych przestrzeni $V$ oznaczanej symbolem $\mathcal{LT}(V).$
  • $\mathcal{L}=\left\{(A,B)\in\mathcal{LT}(V)\times\mathcal{LT}(V)|\,VA=VB\right\},$
  • $\mathcal{R}=\left\{(A,B)\in\mathcal{LT}(V)\times\mathcal{LT}(V)|\,\ker A=\ker B\right\},$
  • $\mathcal{D}=\mathcal{J}=\left\{(A,B)\in\mathcal{LT}(V)\times\mathcal{LT}(V)|\dim VA=\dim VB\right\}.$

Częściowe porządki na zbiorach klas

Dla dowolnej półgrupy $S$ istnieją naturalne porządki na $S/\mathcal{L},\,S/\mathcal{R}$ i $S/\mathcal{J}$ zadane przez zawieranie ideałów odpowiadających klasom:

• $\mathrm{L}_a\leqslant\mathrm{L}_b \iff S^1a\subseteq S^1b,$
• $\mathrm{R}_a\leqslant\mathrm{R}_b \iff aS^1\subseteq bS^1$

oraz

• $\mathrm{J}_a\leqslant\mathrm{J}_b \iff S^1aS^1\subseteq S^1bS^1.$

Pokazuje się, że zdefniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.

Jeżeli $S/\mathcal{L},\,S/\mathcal{R}$ lub $S/\mathcal{J}$ spełniają następujący warunek:

każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny,

to mówimy, że $S$ spełnia odpowiednio ${\min}_{\mathrm{L}},\,{\min}_{\mathrm{R}}$ lub ${\min}_{\mathrm{J}}.$ Jeżeli półgrupa spełnia zarówno ${\min}_{\mathrm{L}}$ jak i ${\min}_{\mathrm{R}},$ to zachodzi równość $\mathcal{D}=\mathcal{J}.$

Własności

Zawierania

Dla każdej półgrupy zachodzą następujące zawierania:

• $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{L}\subseteq\mathcal{D},$
• $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{R}\subseteq\mathcal{D},$
• $\mathcal{D}\subseteq\mathcal{J}.$

W pewnych szczególnych klasach półgrup zachodzi $\mathcal{D}=\mathcal{J},$ jednak nie jest to prawdą w ogólności.

Lemat i twierdzenie Greena

Następujący fakt został pokazany przez A.J. Greena i znany jest jako lemat Greena.

Niech $a,b\in S$ oraz $a\mathcal{R}b.$ Niech $s,s'\in S^1$ będą takimi elementami, że $as=b,\,bs'=a$ (takie elementy istnieją, skoro $a\mathcal{R}b$). Wtedy odwzorowania $x\rightarrow xs$ dla $x\in\mathrm{L}_a$ oraz $y\rightarrow ys'$ dla $y\in\mathrm{L}_b$ są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami odpowiednio z $\mathrm{L}_a$ na $\mathrm{L}_b$ i z $\mathrm{L}_b$ na $\mathrm{L}_a.$ Przekształcenia te zachowują $\mathcal{R}$-klasy argumentów.

Natychmiastowym wnioskiem z lematu Greena jest, że wszystkie $\mathcal{L}$-klasy są równoliczne. Z dualnej wersji lematu Greena wynika, że wszystkie $\mathcal{R}$-klasy są równoliczne. Z lematu Greena można również wyprowadzić równoliczność $\mathcal{H}$-klas zawartych w tej samej $\mathcal{D}$-klasie.

Wnioskiem z lematu Greena jest też następujące twierdzenie Greena.

Jeżeli $\mathrm{H}\in S/\mathcal{H}$ jest $\mathcal{H}$-klasą, to zachodzi jedna z dwóch możliwości:

• Albo $\mathrm{H}^2\cap\mathrm{H}=\emptyset$ (czyli iloczyn dowolnych dwóch elementów $\mathrm{H}$ znajduje się poza $\mathrm{H}$),
• albo $\mathrm{H}^2=\mathrm{H}$ i $\mathrm{H}$ jest grupą.

Bibliografia

• [1] Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society
• [2] Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press