Relatywistyczny efekt Dopplera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Relatywistyczny efekt Doppleraefekt Dopplera zachodzący dla światła. Podobnie jak w mechanice klasycznej, relatywistyczny efekt Dopplera prowadzi do zmiany mierzonej przez obserwatora częstotliwości fali (w tym przypadku elektromagnetycznej) względem częstotliwości emitowanej przez źródło. Aby zgodnie z mechaniką relatywistyczną obliczyć taką zmianę, konieczne jest uwzględnienie przewidywanych przez szczególną teorię względności efektów, takich jak dylatacja czasu. Relatywistyczny efekt Dopplera jest szczególnie zauważalny przy względnej prędkości źródła i obserwatora bliskiej prędkości światła w próżni.

Ruch źródła względem obserwatora[edytuj | edytuj kod]

Niech źródło promieniowania elektromagnetycznego porusza się względem układu obserwatora O z prędkością v w takim kierunku, że kąt mierzony w układzie obserwatora między tym kierunkiem a kierunkiem na obserwatora wynosi \theta. Jeśli źródło porusza się dokładnie w kierunku obserwatora, \theta=0. Załóżmy że źródło emituje krótkie sygnały z częstością f'=1/{\Delta t'} mierzoną w układzie źródła O'. W układzie O, na skutek dylatacji czasu, częstość emitowanych sygnałów wynosi f=f'/\Gamma, gdzie \Gamma=1/\sqrt{1-\beta^2} jest czynnikiem Lorentza źródła, \beta=v/c jest bezwymiarową prędkością źródła i c jest prędkością światła w próżni. Rozważmy jeden z sygnałów wyemitowany w kierunku obserwatora w chwili t=0. Zbliża się on do obserwatora z prędkością c, tymczasem prędkość zbliżania się źródła do obserwatora wynosi v \cos\theta. W momencie emisji kolejnego sygnału t=1/f, poprzedni sygnał znajduje się bliżej obserwatora o \Delta x=(c-v \cos\theta)/f. Sygnały te zostaną zarejestrowane w odstępie czasowym \Delta t_{obs}=\Delta x / c, a więc z częstością

f_{obs}=\frac{1}{\Delta t_{obs}}=\frac{f}{1-(v/c)\cos\theta}=\frac{f'}{\Gamma(1-\beta \cos\theta)}=D f',

gdzie D jest czynnikiem Dopplera. W szczególnym przypadku, kiedy źródło porusza się dokładnie w kierunku obserwatora (\theta=0), D=\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}>1, obserwujemy zwiększoną częstość rejestrowanych sygnałów pomimo tego że dylatacja czasu prowadzi do obniżenia częstości emisji. W przypadku źródła poruszającego się w kierunku przeciwnym (\theta=180^\circ), D=\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}<1. Obserwowana częstość będzie równa częstości emitowanej (D=1) dla obserwatorów spełniających warunek \sin\theta=\sqrt{2/(1+\Gamma)}. W przybliżeniu nierelatywistycznym (\beta<<1), D=1+\beta~ \cos\theta.

Obserwowana jasność źródła[edytuj | edytuj kod]

Ruch źródła promieniowania elektromagnetycznego wpływa nie tylko na obserwowaną częstość sygnałów z niego pochodzących, ale także na jego obserwowaną jasność. Aby się o tym przekonać, rozważmy detektor o powierzchni \Delta S_{obs}, który obserwator skierował prostopadle do kierunku na źródło. Strumień obserwowanego promieniowania jest ilością energii \Delta E_{obs} fotonów padających na detektor w czasie \Delta t_{obs}. Gęstość strumienia promieniowania wyraża się przez:

F_{obs} = \frac{\Delta E_{obs}}{\Delta t_{obs}~\Delta S_{obs}}.

Załóżmy że obserwowane są fotony o jednakowej energii E_{obs}, zatem \Delta E_{obs}=E_{obs}\Delta N_{obs}, gdzie \Delta N_{obs} jest ilością zaobserwowanych fotonów. Częstość zaobserwowanych fotonów wynosi f_{obs}=\Delta N_{obs} / \Delta t_{obs}. Niech d będzie odległością do źródła, wówczas powierzchnię detektora można wyrazić przez \Delta S_{obs}=d^2\Delta\Omega_{obs}, gdzie \Delta\Omega_{obs} jest kątem bryłowym zajmowanym przez detektor z punktu widzenia źródła w układzie O. Gęstość strumienia promieniowania wiąże się z jasnością izotropową, która jest ilością energii wyemitowanej przez źródło w jednostce czasu we wszystkich kierunkach:

L_{obs} = 4 \pi d^2 F_{obs} = f_{obs}E_{obs}\frac{4\pi}{\Delta\Omega_{obs}}.

Na skutek relatywisticznego efektu Dopplera, f_{obs}=D f' oraz E_{obs}=D E'. Natomiast w wyniku aberracji promieniowania elektromagnetycznego, \Delta\Omega_{obs}=\Delta\Omega'/D^2. W efekcie otrzymujemy relatywistyczną transformację jasności poruszającego się źródła:

L_{obs}=D^4f'E'\frac{4\pi}{\Delta\Omega'}=D^4L'.

Nawet jeśli źródło w swoim układzie spoczywającym emituje izotropowo, jego promieniowanie w układzie obserwatora staje silnie nieizotropowe dla prędkości relatywistycznych. Przykładowo, źródło o prędkości \beta=0.99 (\Gamma=7.1) będzie wzmocnione prawie 40 tysięcy razy dla obserwatora, do którego źródło się zbliża, oraz o taki sam czynnik osłabione dla obserwatora, od którego się oddala. Tym właśnie efektem tłumaczy się olbrzymie obserwowane jasności astrofizycznych obiektów wyposażonych w relatywistyczne dżety skierowane w stronę obserwatora, w szczególności blazarów (\Gamma=10-40) oraz błysków gamma (\Gamma=100-400).

Precyzyjne pomiary czasu[edytuj | edytuj kod]

Relatywistyczny efekt Dopplera, zwany także efektem Dopplera drugiego rzędu, uwzględnia się na przykład w analizie zjawisk zachodzących w cezowym wzorcu atomowym. Definicja sekundy opiera się na promieniowaniu w nieruchomym atomie cezu. W rzeczywistości promieniujące atomy cezu są w ruchu względem detektora promieniowania, co powoduje relatywistyczne przesunięcie częstotliwości, którego wartość względna jest rzędu – 10−13.

Wykrycie jakiegokolwiek zjawiska jest możliwe wtedy, gdy do obserwatora dociera sygnał niosący stosowną informację. Sygnałem niosącym informację o efektach relatywistycznych jest sygnał elektromagnetyczny. Jeśli za pomocą tego sygnału obserwator (odbiornik) nieruchomy w R’ obserwuje częstotliwość zegara nieruchomego w R (nadajnik), lecz w układzie R’ poruszającego się względem odbiornika z prędkością v, to dla pełnego opisu zjawiska konieczne staje się także uwzględnienie klasycznego efektu Dopplera.

Efekt grawitacyjny[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z ogólną teorią względności, w pobliżu obiektów posiadających masę czas płynie wolniej, niż z dala od nich. Atomy emitujące światło na powierzchni Słońca wysyłają fale, które odbierane na Ziemi mają mniejszą częstotliwość, niż ma to miejsce w przypadku takich samych atomów badanych w laboratorium.

Czynnik Lorentza w odległości r od środka masy m wynosi w tym przypadku

\gamma =  {1 \over { \sqrt{ 1 - {2Gm \over c^2 r} } }} = { 1 \over { \sqrt{ 1 - \frac {r_{Sch}} r }}}

gdzie:

rSpromień Schwarzschilda r_{Sch} = {2Gm \over c^2}
Gstała grawitacji Newtona (6,67×10−11 m3 kg−1 s−2),
cprędkość światła w próżni (3×108 m s−1).

W efekcie częstotliwość fali emitowanej w pobliżu dużej masy i obserwowana z dala od niej i innych mas staje się mniejsza, i wynosi:

f' = {f \over { \sqrt{ 1 - {r_{Sch} \over r} } } }

Szczególny przypadek dotyczy sytuacji, gdy promień obiektu o masie m zmaleje na tyle, że równy jest promieniowi Schwarzschilda. Tak dzieje się w pobliżu czarnej dziury. Częstotliwość światła wytwarzanego przez źródło wpadające do czarnej dziury stale maleje dążąc do zera. W efekcie otoczenie czarnej dziury staje się niewidoczne dla oddalonego od niej obserwatora. Zjawiska towarzyszące spadaniu materii z ogromną prędkością prowadzą do takiego nagrzewania się otaczające gwiazdę gazu, że wysyła on promieniowanie świetlne lub rentgenowskie. Jednak najbliższe otoczenie czarnej dziury jest niewidoczne.

Ekspansja czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Prawo Hubble'a.

Zgodnie z prawem Hubble’a galaktyki oddalają się od siebie z prędkością proporcjonalną do wzajemnej odległości. W przypadku obserwatora na Ziemi, zależność tę można wyrazić wzorem:

v=H_0\, r\,,

gdzie H0≈ 71 km/s/Mpc to stała Hubble’a.

Zgodnie z kosmologicznym modelem Wielkiego Wybuchu tego typu zależność, prawdziwa dla dostatecznie bliskich obiektów, wynika z faktu rozszerzania się czasoprzestrzeni (por. metryka FLRW). W związku z tym również i fale elektromagnetyczne „rozciągają” się razem z przestrzenią. Kiedy więc np. w odległej galaktyce wybucha supernowa, wysłane przez nią światło może potrzebować wielu miliardów lat, aby dotrzeć do detektorów umieszczonych w teleskopach. W tym czasie przestrzeń, którą przemierzają fale, ulega ekspansji, co zwiększa ich długość. Im dalej jest supernowa, tym większa jest różnica pomiędzy długością fali zarejestrowaną na Ziemi a tą wysłaną przez źródło. Miarą tej zmiany jest przesunięcie ku czerwieni z, dane wzorem:

z=\frac{\lambda_o-\lambda_e}{\lambda_e}\,,

gdzie λo to długość fali odebranej, zaś λe – wysyłanej.

Dla obiektu oddalającego się od nas z prędkością v, powyższe długości fal są powiązane wzorem

\lambda_o = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}\,\lambda_e\,.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]