Retrakt deformacyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Retrakt deformacyjny - specjalny rodzaj retraktu przestrzeni topologicznej. Intuicyjnie, retrakt deformacyjny przestrzeni X to taka jej podprzestrzeń Y, że X daje się w sposób ciągły "skurczyć" do Y.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Podprzestrzeń Y przestrzeni X (poprzez i:Y\hookrightarrow X oznaczamy naturalne włożenie) nazywamy retraktem deformacyjnym przestrzeni X, o ile istnieje przekształcenie r:X\to Y, nazywane retrakcją deformacyjną, spełniające warunki:

  1. r\circ i = \operatorname{id}_Y (tzn. r jest retrakcją z X do Y),
  2. i\circ r:X\to X jest homotopijne z \operatorname{id}_X.

Jeżeli homotopia z warunku 2. jest stała na zbiorze Y\times [0,1], to Y nazywamy mocnym retraktem deformacyjnym X. Część autorów retraktami deformacyjnymi nazywa jedynie mocne retrakty deformacyjne.

Równoważnie retrakcję deformacyjną można zdefiniować jako rodzinę przekształceń ciągłych \{f_t\}_{t\in [0,1]} taką, że:

  1. \forall_{t\in [0,1]} f_t:X\to X,
  2. f_0=\operatorname{id}_X,
  3. \forall_{x\in X}f_1(x)\in Y,
  4. odwzorowanie F:X\times [0,1]\to X zadane wzorem F(x,t)=f_t(x) jest ciągłe.

Jeśli ponadto \forall_{t\in [0,1]}f_t|_Y=\operatorname{id}_Y, to rodzinę \{f_t\}_{t\in[0,1]} nazywamy mocną retrakcją deformacyjną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Mocny retrakt deformacyjny jest retraktem deformacyjnym.
  • Retrakt deformacyjny przestrzeni jest jej homotopijnie równoważny.
  • Przestrzeń topologiczna jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny jej punkt jest retraktem deformacyjnym tej przestrzeni. Można jednak podać przykład przestrzeni ściągalnej takiej, że żaden jej punkt nie jest mocnym retraktem deformacyjnym tej przestrzeni.
  • Dwie przestrzenie topologiczne X,Y są homotopijnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przestrzeń Z taka, że X i Y są retraktami deformacyjnymi Z.