Retrakt deformacyjny

Retrakt deformacyjny - specjalny rodzaj retraktu przestrzeni topologicznej. Intuicyjnie, retrakt deformacyjny przestrzeni $X$ to taka jej podprzestrzeń $Y$, że $X$ daje się w sposób ciągły "skurczyć" do $Y$.

Definicja

Podprzestrzeń $Y$ przestrzeni $X$ (poprzez $i:Y\hookrightarrow X$ oznaczamy naturalne włożenie) nazywamy retraktem deformacyjnym przestrzeni $X$, o ile istnieje przekształcenie $r:X\to Y$, nazywane retrakcją deformacyjną, spełniające warunki:

1. $r\circ i = \operatorname{id}_Y$ (tzn. $r$ jest retrakcją z $X$ do $Y$),
2. $i\circ r:X\to X$ jest homotopijne z $\operatorname{id}_X$.

Jeżeli homotopia z warunku 2. jest stała na zbiorze $Y\times [0,1]$, to $Y$ nazywamy mocnym retraktem deformacyjnym $X$. Część autorów retraktami deformacyjnymi nazywa jedynie mocne retrakty deformacyjne.

Równoważnie retrakcję deformacyjną można zdefiniować jako rodzinę przekształceń ciągłych $\{f_t\}_{t\in [0,1]}$ taką, że:

1. $\forall_{t\in [0,1]} f_t:X\to X$,
2. $f_0=\operatorname{id}_X$,
3. $\forall_{x\in X}f_1(x)\in Y$,
4. odwzorowanie $F:X\times [0,1]\to X$ zadane wzorem $F(x,t)=f_t(x)$ jest ciągłe.

Jeśli ponadto $\forall_{t\in [0,1]}f_t|_Y=\operatorname{id}_Y$, to rodzinę $\{f_t\}_{t\in[0,1]}$ nazywamy mocną retrakcją deformacyjną.

Własności

• Mocny retrakt deformacyjny jest retraktem deformacyjnym.
• Retrakt deformacyjny przestrzeni jest jej homotopijnie równoważny.
• Przestrzeń topologiczna jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny jej punkt jest retraktem deformacyjnym tej przestrzeni. Można jednak podać przykład przestrzeni ściągalnej takiej, że żaden jej punkt nie jest mocnym retraktem deformacyjnym tej przestrzeni.
• Dwie przestrzenie topologiczne $X,Y$ są homotopijnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przestrzeń $Z$ taka, że $X$ i $Y$ są retraktami deformacyjnymi $Z$.