Rodzina indeksowana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rodzina indeksowana – w matematyce uogólnienie pojęcia rodziny zbiorów analogiczne do uogólnienia zbioru przez ciągi. Rodzinę indeksowaną zbiorów definiuje się określając wpierw ogólniejsze pojęcie rodziny indeksowanej elementów.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X oraz I będą dowolnymi zbiorami. Rodziną elementów (zbioru) X indeksowaną przez I nazywa się funkcję x\colon I \mapsto X oznaczaną symbolami \{x_i\}_{i \in I}, bądź po prostu \{x_i\}. Same obrazy x(i) oznacza się symbolicznie x_i, zaś dziedzina I nosi nazwę zbioru indeksów.

Niech S będzie zbiorem. Rodzina indeksowana zbiorów \{C_i\}_{i \in I} to rodzina indeksowana odwzorowująca I w elementy zbioru potęgowego zbioru S.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech [n] oznacza zbiór skończony \{1, 2, \dots, n\}, gdzie n oznacza dodatnią liczbę całkowitą. Wówczas

Dowolny zbiór X można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę (x)_{x \in X} indeksowaną elementami tego zbioru.

Rodzina a zbiór[edytuj | edytuj kod]

Funkcje suriektywne („na”) i rodziny indeksowanej są formalnie równoważne – każda funkcja f o dziedzinie I i przeciwdziedzinie X zadaje rodzinę \bigl(f(i)\bigr)_{i \in I}. Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest iniektywna (różnowartościowa).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór X := \bigl\{f(i)\colon i \in I\bigr\}, czyli obraz f, w którym elementy f(i) = f(j) dla i \ne j utożsamiane są z elementami zbioru X.

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze I.

Notacja wskaźnikowa

Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie:

Wektory \mathbf v_1, \dots, \mathbf v_nliniowo niezależne.

Tutaj (\mathbf v_i)_{i \in \{1, \dots, n\}} oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na i-ty wektor \mathbf v_i ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje i-ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla n = 2 oraz \mathbf v_1 = \mathbf v_2 := [1, 0] zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze

Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie:

Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze A są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze A są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu [1, 1], co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak wiec zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

Działania[edytuj | edytuj kod]

Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli (a_i)_{i \in I} jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

\sum_{i \in I} a_i.

Sumę rodziny zbiorów (A_i)_{i \in I} oznacza się analogicznie:

\bigcup_{i \in I} A_i.

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

Podrodzina[edytuj | edytuj kod]

Rodzina (B_i)_{i \in J} jest podrodziną rodziny (A_i)_{i \in I} wtedy i tylko wtedy, gdy J jest podzbiorem I i dla wszystkich i \in J zachodzi

B_i = A_i.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: diagram (teoria kategorii).

Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii \mathbf C, indeksowany przez inną kategorię \mathbf J.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]