Rodzina indeksowana

Rodzina indeksowana – w matematyce uogólnienie pojęcia rodziny zbiorów analogiczne do uogólnienia zbioru przez ciągi. Rodzinę indeksowaną zbiorów definiuje się określając wpierw ogólniejsze pojęcie rodziny indeksowanej elementów.

Definicja

Niech $X$ oraz $I$ będą dowolnymi zbiorami. Rodziną elementów (zbioru) $X$ indeksowaną przez $I$ nazywa się funkcję $x\colon I \mapsto X$ oznaczaną symbolami $\{x_i\}_{i \in I},$ bądź po prostu $\{x_i\}.$ Same obrazy $x(i)$ oznacza się symbolicznie $x_i,$ zaś dziedzina $I$ nosi nazwę zbioru indeksów.

Niech $S$ będzie zbiorem. Rodzina indeksowana zbiorów $\{C_i\}_{i \in I}$ to rodzina indeksowana odwzorowująca $I$ w elementy zbioru potęgowego zbioru $S.$

Przykłady

Niech $[n]$ oznacza zbiór skończony $\{1, 2, \dots, n\},$ gdzie $n$ oznacza dodatnią liczbę całkowitą. Wówczas

• para uporządkowana to rodzina zbiór indeksowana zbiorem dwuelementowym $[2] = \{1, 2\},$
• n-tka to rodzina indeksowana przez $[n],$
• ciąg nieskończony to rodzina indeksowana liczbami naturalnymi,
• macierz typu $n \times m$ to rodzina indeksowana iloczynem kartezjańskim $[n] \times [m],$
• sieć to rodzina zbiorów indeksowana przez zbiór skierowany.

Dowolny zbiór $X$ można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę $(x)_{x \in X}$ indeksowaną elementami tego zbioru.

Rodzina a zbiór

Funkcje suriektywne („na”) i rodziny indeksowanej są formalnie równoważne – każda funkcja $f$ o dziedzinie $I$ i przeciwdziedzinie $X$ zadaje rodzinę $\bigl(f(i)\bigr)_{i \in I}.$ Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest iniektywna (różnowartościowa).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór $X := \bigl\{f(i)\colon i \in I\bigr\},$ czyli obraz $f,$ w którym elementy $f(i) = f(j)$ dla $i \ne j$ utożsamiane są z elementami zbioru $X.$

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze $I.$

Notacja wskaźnikowa

Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie:

Wektory $\mathbf v_1, \dots, \mathbf v_n$ są liniowo niezależne.

Tutaj $(\mathbf v_i)_{i \in \{1, \dots, n\}}$ oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na $i$-ty wektor $\mathbf v_i$ ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje $i$-ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla $n = 2$ oraz $\mathbf v_1 = \mathbf v_2 := [1, 0]$ zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze

Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie:

Macierz kwadratowa $A$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze $A$ są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze $A$ są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},$

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu $[1, 1],$ co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak wiec zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

Działania

Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli $(a_i)_{i \in I}$ jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

$\sum_{i \in I} a_i.$

Sumę rodziny zbiorów $(A_i)_{i \in I}$ oznacza się analogicznie:

$\bigcup_{i \in I} A_i.$

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

Podrodzina

Rodzina $(B_i)_{i \in J}$ jest podrodziną rodziny $(A_i)_{i \in I}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $J$ jest podzbiorem $I$ i dla wszystkich $i \in J$ zachodzi

$B_i = A_i.$

Uogólnienia

Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii $\mathbf C,$ indeksowany przez inną kategorię $\mathbf J.$

Zobacz też

• koprodukt
• suma rozłączna
• tablica
• rekord z wariantami
• rodzina parametryzowana

Literatura

• Japońskie Towarzystwo Matematyczne, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, wyd. II, 2 tomy, Kiyosi Itô (red.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993; cytowane jako EDM (tom).