Rodzina lokalnie skończona

Rodzina lokalnie skończona jest pojęciem topologii ogólnej, charakteryzującym rodziny zbiorów przestrzeni topologicznej. Szczególnym przypadkiem rodziny skończonej jest rodzina dyskretna. Uwaga: rodzina dyskretna jest pojęciem różnym od pojęcia zbioru dyskretnego.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, że rodzina $\mathcal A =(A_t)_{t\in T}$ podzbiorów przestrzeni topologicznej $X$ jest lokalnie skończona, gdy dla każdego punktu $x\in X$ istnieje otoczenie $U$, które przecina co najwyżej skończoną liczbę zbiorów z rodziny $\mathcal A$ (tzn. takie, że zbiór $\{t\in T\colon A_t\cap U\neq\varnothing\}$ jest skończony). Jeżeli każdy punkt $x\in X$ ma otoczenie przecinające co najwyżej jeden element rozważanej rodziny, to rodzinę tę nazywamy dyskretną.

Rodzinę zbiorów nazywamy σ-lokalnie skończoną (σ-dyskretną) jeśli jest przeliczalną sumą rodzin lokalnie skończonych (dyskretnych).

Własności

• Każda rodzina dyskretna bądź skończona jest lokalnie skończona.
• Dla każdej rodziny lokalnie skończonej $(A_t)_{t\in T}$ spełniona jest równość

$\operatorname{cl}\bigcup_{t\in T}A_t=\bigcup_{t\in T}\operatorname{cl} A_t$,

gdzie $\operatorname{cl}$ jest operacją domknięcia.

• Jeśli $\mathcal{F}$ jest rodziną lokalnie skończoną i wszystkie zbiory z tej rodziny są domknięte (domknięto-otwarte), to $F=\bigcup\mathcal{F}$ jest zbiorem domkniętym (domknięto-otwartym).
• Jeśli $(A_t)_{t\in T}$ jest rodziną lokalnie skończoną (dyskretną), to rodzina $(\operatorname{cl}A_t)_{t\in T}$ jest również rodziną lokalnie skończoną (dyskretną).

Zobacz też

• Pokrycie zbioru
• Rodzina punktowo skończona