Rodzina lokalnie skończona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rodzina lokalnie skończona jest pojęciem topologii ogólnej, charakteryzującym rodziny zbiorów przestrzeni topologicznej. Szczególnym przypadkiem rodziny skończonej jest rodzina dyskretna. Uwaga: rodzina dyskretna jest pojęciem różnym od pojęcia zbioru dyskretnego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, że rodzina \mathcal A =(A_t)_{t\in T} podzbiorów przestrzeni topologicznej X jest lokalnie skończona, gdy dla każdego punktu x\in X istnieje otoczenie U, które przecina co najwyżej skończoną liczbę zbiorów z rodziny \mathcal A (tzn. takie, że zbiór \{t\in T\colon A_t\cap U\neq\varnothing\} jest skończony). Jeżeli każdy punkt x\in X ma otoczenie przecinające co najwyżej jeden element rozważanej rodziny, to rodzinę tę nazywamy dyskretną.

Rodzinę zbiorów nazywamy σ-lokalnie skończoną (σ-dyskretną) jeśli jest przeliczalną sumą rodzin lokalnie skończonych (dyskretnych).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda rodzina dyskretna bądź skończona jest lokalnie skończona.
  • Dla każdej rodziny lokalnie skończonej (A_t)_{t\in T} spełniona jest równość
\operatorname{cl}\bigcup_{t\in T}A_t=\bigcup_{t\in T}\operatorname{cl} A_t,
gdzie \operatorname{cl} jest operacją domknięcia.
  • Jeśli \mathcal{F} jest rodziną lokalnie skończoną i wszystkie zbiory z tej rodziny są domknięte (domknięto-otwarte), to F=\bigcup\mathcal{F} jest zbiorem domkniętym (domknięto-otwartym).
  • Jeśli (A_t)_{t\in T} jest rodziną lokalnie skończoną (dyskretną), to rodzina (\operatorname{cl}A_t)_{t\in T} jest również rodziną lokalnie skończoną (dyskretną)[1].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. strona 29-31. ISBN 3-88538-006-4