Rozkład Cauchy'ego

Rozkład Cauchy'ego (zwany również w optyce rozkładem Lorentza a w fizyce jądrowej rozkładem Breita-Wignera) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.

Rozkład Cauchy'ego-Lorentza

Gęstość prawdopodobieństwa Zielona linia opisuje standardowy rozkład Cauchy'ego
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	$x_0\!$ – położenie (liczba rzeczywista) $\gamma > 0\!$ – skala (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!$
Dystrybuanta	$\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}$
Wartość oczekiwana (średnia)	nieokreślona
Mediana	$x_0\;$
Moda	$x_0\;$
Wariancja	nieokreślona
Współczynnik skośności	nieokreślona
Kurtoza	nieokreślona
Entropia	$\ln\ 4\pi\gamma\!$
Funkcja generująca momenty	nieokreślona
Funkcja charakterystyczna	$e^{x_0\,i\,t-\gamma\,|t|}\!$
Odkrywca	Augustin Louis Cauchy

• Momenty zwykłe i centralne (czyli m.in. wartość oczekiwana i wariancja) rozkładu są niezdefiniowane - odpowiednie całki rozbiegają się do nieskończoności. Oznacza to też m.in., że nie można zdefiniować kurtozy i skośności.
• Jeśli niezależne zmienne losowe X i Y mają standardowy rozkład normalny, to zmienna X/Y ma rozkład Cauchy'ego z parametrami x₀ = 0 i γ = 1

Zobacz też

• rozkład zmiennej losowej,
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki