Rozkład Erlanga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład Erlanga
Gęstość prawdopodobieństwa
{{{opis wykresu}}}
{{{opis wykresu}}}
Dystrybuanta
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
Parametry k > 0\, parametr kształtu (liczba całkowita)
\lambda > 0\, częstość (liczba rzeczywista)
alt.: \theta = 1/\lambda > 0\, parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik x \in [0; \infty)\!
Gęstość prawdopodobieństwa \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{(k-1)!\,}
Dystrybuanta \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}=1-\sum_{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}/n!
Wartość oczekiwana (średnia) k/\lambda\,
Mediana Nie da się zapisać w prostej postaci
Moda (k-1)/\lambda\, dla k \geqslant 1\,
Wariancja k /\lambda^2\,
Współczynnik skośności \frac{2}{\sqrt{k}}
Kurtoza \frac{6}{k}
Entropia k/\lambda+(k-1)\ln(\lambda)+\ln((k-1)!)\,
+(1-k)\psi(k)\,
Funkcja tworząca momenty (1 - t/\lambda)^{-k}\, dla t < \lambda\,
Funkcja charakterystyczna (1 - it/\lambda)^{-k}\,
Odkrywca Agner Krarup Erlang

Rozkład Erlangaciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.

Związek z rozkładem wykładniczym jest następujący. Dla ciągu niezależnych zmiennych losowych  (X_i\;)_{i \leq n} , z których każda ma rozkład wykładniczy z jednakowym parametrem  \lambda zmienna losowa  \sum_{i=1}^{n} X_i ma rozkład Erlanga z parametrami  k = n, \theta = 1/{\lambda}. Wynika to bezpośrednio z postaci funkcji charakterystycznej rozkładu wykładniczego.