Rozkład Erlanga

Rozkład Erlanga

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$k > 0\,$ parametr kształtu (liczba całkowita) $\lambda > 0\,$ częstość (liczba rzeczywista) alt.: $\theta = 1/\lambda > 0\,$ parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x \in [0; \infty)\!$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{(k-1)!\,}$
Dystrybuanta	$\frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}=1-\sum_{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}/n!$
Wartość oczekiwana (średnia)	$k/\lambda\,$
Mediana	Nie da się zapisać w prostej postaci
Moda	$(k-1)/\lambda\,$ dla $k \geqslant 1\,$
Wariancja	$k /\lambda^2\,$
Współczynnik skośności	$\frac{2}{\sqrt{k}}$
Kurtoza	$\frac{6}{k}$
Entropia	$k/\lambda+(k-1)\ln(\lambda)+\ln((k-1)!)\,$ $+(1-k)\psi(k)\,$
Funkcja generująca momenty	$(1 - t/\lambda)^{-k}\,$ dla $t < \lambda\,$
Funkcja charakterystyczna	$(1 - it/\lambda)^{-k}\,$
Odkrywca	Agner Krarup Erlang

Rozkład Erlanga – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.

Związek z rozkładem wykładniczym jest następujący. Dla ciągu niezależnych zmiennych losowych $(X_i\;)_{i \leq n}$, z których każda ma rozkład wykładniczy z jednakowym parametrem $\lambda$ zmienna losowa $\sum_{i=1}^{n} X_i$ ma rozkład Erlanga z parametrami $k = n, \theta = 1/{\lambda}$. Wynika to bezpośrednio z postaci funkcji charakterystycznej rozkładu wykładniczego.