Rozkład Maxwella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład Maxwella dla tlenu dla trzech temperatur (–100 °C, temperatura pokojowa i 600 °C). Wartość funkcji odpowiada liczbie cząsteczek spośród 1 miliona cząsteczek, jaka będzie poruszać się z prędkością v±0,5 m/s.
Rozkład Maxwella dla tlenu, butanu, amoniaku i dwutlenku węgla w temperaturze pokojowej (20 °C). Wartość funkcji odpowiada liczbie cząsteczek spośród 1 miliona cząsteczek, jaka będzie poruszać się z prędkością v±0,5 m/s.

Rozkład Maxwella – wzór określający rozkład prędkości cząstek gazu doskonałego, w którym poruszają się one swobodnie i nie oddziałują ze sobą, z wyjątkiem bardzo krótkich zderzeń sprężystych, w których mogą wymieniać pęd i energię kinetyczną, ale nie zmieniają swoich stanów wewnątrzcząsteczkowych. Cząstka w tym kontekście oznacza zarówno atomy jak i cząsteczki.

Rozkład ten ma postać

f(v) = \frac{dP}{dv} = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^{2} \exp\left( - \frac{\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}m v^{2}}{k T}\right)

gdzie:

Z funkcji podanej przez Jamesa Clerka Maxwella wynika, że większość cząsteczek będzie poruszać się z prędkością zbliżoną do pewnej wartości średniej. Ze względu na występujące we wzorze wyrażenie wykładnicze \exp\left(-x\right) z  \ x \ proporcjonalnym do  \ v^2 \ , udział cząsteczek o bardzo dużych prędkościach jest bardzo mały, gdyż \exp\left(-x\right) jest bardzo małe, gdy  \ x \ jest duże. Z drugiej strony, ze względu na to, że czynnik  \ v^2 \ dąży do zera, gdy  \ v maleje, udział cząsteczek o bardzo małych prędkościach jest także znikomy[1].

Parametry rozkładu prędkości[edytuj | edytuj kod]

Rozkład prędkości cząsteczek gazu można scharakteryzować trzema parametrami: prędkość najbardziej prawdopodobna, prędkość średnia i prędkość średnia kwadratowa[2][3].

Prędkość najbardziej prawdopodobna  \ v_p \ to taka prędkość  \ v \ , dla której wartość  \ f(v) \ jest największa.

v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }

Prędkość średnia  \langle v \rangle określa przeciętną prędkość z jaką poruszają się cząsteczki w układzie. Ze względu na to, że rozkład Maxwella jest asymetryczny (prawostronnie skośny) prędkość średnia jest większa niż prędkość najbardziej prawdopodobna. Krzywa maxwellowska ma "ogon", który rozciąga się w stronę wysokich temperatur.

Prędkość średnia jest średnią arytmetyczną z prędkości wszystkich cząsteczek:

 \langle v \rangle = \int_0^{\infin} v \, f(v) \, dv= \sqrt { \frac{8kT}{\pi m}}= \sqrt { \frac{8RT}{\pi M}}

Prędkość średnia kwadratowa  \langle v_k \rangle jest pierwiastkiem kwadratowym ze średniej arytmetycznej kwadratów prędkości:

 \langle v_k \rangle = \left(\int_0^{\infin} v^2 \, f(v) \, dv  \right)^{1/2}= \sqrt { \frac{3kT}{m}}= \sqrt { \frac{3RT}{M} }

Średnia prędkość kwadratowa jest miarą energii kinetycznej  \langle E_k \rangle cząsteczek.

Z kinetycznej teorii gazów wynika, że

 \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT

a więc energia kinetyczna cząsteczki zależy wyłącznie od temperatury, oraz ze względu na to, że zgodnie z Drugą zasadą dynamiki Newtona

 \langle E_k \rangle = \frac{1}{2}m\langle v^2\rangle

otrzymujemy

 \langle v_k \rangle = \sqrt { \frac{3kT}{m}}= \sqrt { \frac{3RT}{M} }

Jest to fundamentalny wniosek teorii kinetycznej, który łączy wprost prędkość cząsteczek z temperaturą i masą. Wynika z niego, że

średnia prędkość kwadratowa cząsteczek jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z temperatury[1].

Jeśli temperatura wzrośnie dwa razy (w skali Kelvina), to średnia prędkość kwadratowa cząsteczki wzrośnie \sqrt{2} \approx 1{,}4 \ razy.

Poza tym zachodzi:

 v_p < \langle v \rangle < \langle v_k \rangle
 \langle v \rangle = 1,13v_p
 \langle v_k \rangle = 1,22v_p

Konsekwencje rozkładu prędkości[edytuj | edytuj kod]

Rozkład Maxwella pokazuje, że prędkości cząsteczek zależą od temperatury oraz masy molowej. Wraz ze wzrostem temperatury, rozkład się poszerza ("spłaszcza"), a jego prędkość najbardziej prawdopodobna, jak i średnia prędkość, i średnia prędkość kwadratowa zwiększają się.

Zależność od masy cząsteczek powoduje z kolei, że w tej samej temperaturze, cząsteczki gazów o mniejszej masie molowej będą poruszały się średnio szybciej niż cząsteczki gazów o większej masie molowej.

Takie zachowanie się gazów – dobrze opisywane przez rozkład Maxwella – ma duże znaczenie dla składu atmosferycznego planet. Spora część cząsteczek gazów lekkich będzie się poruszała z prędkościami przewyższającymi drugą prędkość kosmiczną. Oznacza to, że cząsteczka wydostanie się z pola grawitacyjnego planety. Dlatego wodór H2, którego masa molowa wynosi M = 2,02 g/mol i hel He, o masie M = 4,00 g/mol, praktycznie nie występują w atmosferze Ziemi[1].

Statystyka Maxwella-Boltzmanna[edytuj | edytuj kod]

Rozkład Maxwella-Boltzmanna
Parametr a>0\,
Dziedzina x\in [0;\infty)
Gęstość prawdopodobieństwa \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2 e^{-x^2/(2a^2)}}{a^3}
Dystrybuanta \textrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/(2a^2)}}{a}
Wartość oczekiwana \mu=2a \sqrt{\frac{2}{\pi}}
Dominanta \sqrt{2} a
Wariancja \sigma^2=\frac{a^2(3 \pi - 8)}{\pi}
Współczynnik skośności \gamma_1=\frac{2 \sqrt{2} (5 \pi - 16)}{(3 \pi - 8)^{3/2}}
Kurtoza \gamma_2=-4\frac{96-40\pi+3\pi^2}{(3 \pi - 8)^2}

Statystyka Maxwella-Boltzmanna może być przedstawiona w postaci znormalizowanej. Parametry rozkładu odnoszą się do parametrów cząsteczkowych gazu:

a = \sqrt{\frac{k_B T}{m}}

lub do parametrów makroskopowych gazu:

 a = \sqrt { \frac{2RT}{M} }
x = v \,

gdzie:

Statystyka Maxwella odnosi się do cząsteczek "ciężkich" (pierwiastków i związków chemicznych). W temperaturze wysokiej lub normalnej wszystkie cząsteczki znajdują się w innym stanie energetycznym, ponieważ w takich warunkach stanów jest o wiele więcej niż cząsteczek. To przybliżenie dotyczy wszystkich związków chemicznych i prawie wszystkich pierwiastków (poza helem i wodorem o temperaturze mniejszej od około 0,5 K).


Liczba cząsteczek w danym zakresie prędkości[edytuj | edytuj kod]

Prawdopodobieństwo, że cząsteczka będzie miała prędkość mieszczącą się w pewnym zakresie, określa całka w zadanej granicami całkowania funkcji rozkładu Maxwella po prędkości. Z definicji prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi cząsteczek spełniających warunek do całkowitej liczby cząsteczek

 P = \frac{n_w}{n}
  • n_w – liczba cząsteczek gazu doskonałego poruszających się z prędkością mieszczącą się między prędkościami  \ v_1 a  \ v_2 ,
  • n – liczba cząsteczek gazu doskonałego.

Ponieważ

f(v) = \frac{dP}{dv} = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^{2} \exp\left( - \frac{\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}m v^{2}}{k T}\right)

więc

dP = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^{2} \exp\left( - \frac{\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}m v^{2}}{k T}\right) dv

zatem

P = \int\limits_{v_1}^{v_2} f(v) dv

Całką w granicach prędkości od  v_1 do  v_2 jest funkcja

P = \left[ \operatorname{erf}\left( \sqrt{\frac{m}{k T}} \ v_2 \right) {-} \sqrt{\frac{2 m}{\pi k T}} \ v_2 \exp\left( {-} \frac{m v_2^2}{2 k T} \right) \right] - \left[ \operatorname{erf}\left( \sqrt{\frac{m}{k T}} \ v_1 \right) {-} \sqrt{\frac{2 m}{\pi k T}} \ v_1 \exp\left( {-} \frac{m v_1^2}{2 k T} \right) \right]

gdzie  \operatorname{erf}\left(x \right) to funkcja błędu.

Gdy granicami całkowania jest prędkość równa zeru i równa nieskończoności, prawdopodobieństwo wynosi jeden:

P = \int\limits_{0}^{\infin} f(v) dv = 1

co pokrywa się z warunkiem normalizacji funkcji rozkładu. Prawdopodobieństwo P \in <0,1>:

Liczba molekuł poruszających się z prędkością z zakresu  < v_1 , v_2> wskazuje zależność  P = \frac{n_w}{n} , a stąd  n_w = n \cdot P

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 "Podstawy chemii fizycznej" Peter William Atkins. Wydawnictwo PWN Warszawa 1999, str. 35-37
  2. "Fizyka. Moduł V. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika, I-II", Zbigniew Kąkol. Otwarte zasoby edukacyjne. Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. 2006. Pobrane z serwisu Open AGH http://www.open.agh.edu.pl
  3. "Equilibrium and non-equilibrium statistical thermodynamics", Michel Le Bellac, Fabrice Mortessagne, Ghassan George Batrouni. 2004. Cambridge University Press. str. 116-119.