Rozkład Pareta

Rozkład Pareta

Gęstość prawdopodobieństwa Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu Pareta dla różnych k  oraz xm = 1. Oś odciętych odpowiada parametrowi $x.$ Dla $k$ dążącego do nieskończoności rozkład zbiega do $\delta (x-x_{m}$ gdzie $\delta$ to delta Diraca.
Dystrybuanta Dystrybuanta rozkładu Pareta dla różnych $k$ oraz $x_{m}=1.$ Oś odciętych odpowiada parametrowi $x.$
Parametry	$x_{\mathrm {m} }>0$ parametr skali (liczba rzeczywista) $k>0$ parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}$
Dystrybuanta	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}$ dla $k>1$
Mediana	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}$
Moda	$x_{\mathrm {m} }$
Wariancja	${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}$ dla $k>2$
Współczynnik skośności	${\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}$ dla $k>3$
Kurtoza	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}$ dla $k>4$
Entropia	$\ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1$
Funkcja tworząca momenty	nieokreślona
Funkcja charakterystyczna	$k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)$
Odkrywca	Vilfredo Pareto

Rozkład Pareta (od nazwiska Vilfreda Pareta) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, spełniający potęgowe prawo skalowania, występujący m.in. w naukach społecznych, geofizyce i aktuariacie. Poza ekonomią jest czasem nazywany rozkładem Bradforda.

Pareto oryginalnie używał tego rozkładu do opisu alokacji dóbr w społeczeństwie, gdyż jak zauważył większa część bogactwa dowolnego społeczeństwa jest w posiadaniu niewielkiego procenta jego członków.

Idea ta jest czasem wyrażana jako tzw. zasada Pareta, mówiąca, że 20% populacji posiada 80% bogactwa. Konkretne wartości mogą być jednak inne w zależności od parametrów rozkładu.

Rozkład Pareta występuje też w wielu innych sytuacjach, w szczególności:

• częstości występowania słów w długich tekstach (kilka słów jest używanych często, wiele słów rzadko),
• rozmiary osiedli ludzkich (mało dużych miast, dużo małych wsi),
• wielkości plików przesyłanych protokołem TCP w internecie (dużo małych plików, mało dużych plików),
• klastry kondensatu Bosego-Einsteina w okolicach zera Kelwina,
• pojemność złóż ropy naftowej (mało dużych pól naftowych, dużo małych pól),
• czas wykonywania procesu obliczeniowego przez superkomputer (niewiele długich procesów, dużo krótkich),
• rozmiar ziarenek piasku,
• rozmiar meteorytów,
• liczba gatunków w rodzaju (intuicyjnie: im większy rodzaj, tym większa skłonność badaczy do podzielenia go na dwa mniejsze dla lepszego oddania indywidualnych cech zawierających się w nim gatunków),
• powierzchnia spalona podczas pożaru lasu,
• rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy.

Zobacz też

• zasada Pareta