Rozkład Pascala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład Pascala
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżoneniu długość 2σ.
Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżoneniu długość 2σ.
Parametry r > 0\! (liczba rzeczywista)
0<p<1\! (liczba rzeczywista)
Nośnik k \in \{0,1,2,\ldots\}\!
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!
Dystrybuanta I_p(r,k+1)\text{ gdzie }I_p(x,y) jest regularyzowaną niekompletną funkcją Beta
Wartość oczekiwana (średnia) \frac{r(1-p)}{p}\!
Moda \lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1
0\text{ if }r\leqslant 1
Wariancja r\,\frac{1-p}{p^2}\!
Współczynnik skośności \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!
Kurtoza \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)} \!
Entropia \frac12 \ln \left( \frac{2\pi e r p}{(1-p)^2}\right) + O\left(\frac{1}{r}\right)\!
Funkcja tworząca momenty \left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!
Funkcja charakterystyczna \left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!

Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) - dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego.

Rozważmy ciąg X_1, X_2, \ldots niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym p. Ustalmy liczbę r. Obserwujemy ten ciąg do momentu stwierdzenia r-tej porażki. Oznaczmy ten moment przez T. O zmiennej losowej T-r mówimy, że ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) z parametrami r oraz p.

Niech X ma rozkład NB(r,p). Wtedy X = k (gdzie k=0,1,2,...) jeśli w r+k-tym momencie zaszła porażka oraz w ciągu X_1,\ldots,X_{r+k-1} zaszło r-1 porażek. Zatem

P(X=k) = \binom{r+k-1}{r-1} (1-p)^{r-1} p^{(r+k-1)-(r-1)} (1-p)

czyli

P(X=k) =  \binom{r+k-1}{r-1} (1-p)^{r} p^{k}

Na rozkład ten można spojrzeć w następujący sposób: rozważamy ciąg niezależnych zmiennych Y_1,\ldots,Y_r o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu 1-p odpowiadające obserwacji naszego ciągu po porażce r-1 do porażki r włącznie. Niech Y = Y_1+\ldots+Y_r. Wtedy zmienna losowa X = Y - r, zliczająca jedynie liczbę sukcesów, ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami r oraz p. Z tego otrzymujemy natychmiast wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej o tym rozkładzie

E(X) = r \cdot \frac{1}{1-p} - r = \frac{r p}{1-p}

W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wariancję.

Uwaga: często rozważa się trochę inne definicje ujemnych rozkładów dwumianowych. Porażkę zastępuje się sukcesem oraz nie odejmuje się parametru r od momentu zajścia r-tego sukcesu. Otrzymujemy wtedy zmienną losową X o następujący rozkładzie

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r}, \quad k \geq r

Zmienna ta jest sumą r niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu p.


Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 2007, s. 159-160. ISBN 978-83-01-14684-9.