Rozkład Studenta

Rozkład t-Studenta

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\nu > 0$ stopni swobody (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!$
Dystrybuanta	$\begin{matrix} \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\\[0.5em] \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2}; -\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\frac{\nu}{2})} \end{matrix}$ gdzie $_2F_1 \,$jest funkcją hipergeometryczną
Wartość oczekiwana (średnia)	$0\text{ dla }\nu>1$, w przeciwnym wypadku nieokreślona
Mediana	$0$
Moda	$0$
Wariancja	$\frac{\nu}{\nu-2}\text{ dla }\nu>2\!$, w przeciwnym wypadku nieokreślona
Współczynnik skośności	$0\text{ dla }\nu>3$
Kurtoza	$\frac{6}{\nu-4}\text{ dla }\nu>4\!$
Entropia	$\begin{matrix} \frac{\nu+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+\nu}{2}) - \psi(\frac{\nu}{2}) \right] \\[0.5em] + \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}$ $\psi$: funkcja digamma, $B$: funkcja beta
Funkcja generująca momenty	(nieokreślona)
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca	William Sealy Gosset (1908)

Rozkład Studenta – (rozkład t lub rozkład t-Studenta) ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie błędów pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia $\overline{X}$ i odchylenie standardowe $s\!$ lub wariancja $s^{2}\!$ („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego $\sigma\!$ w populacji. Zagadnienie to rozwiązał (w 1908 r.) W. S. Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów $X_{i}$, a niezależną od $\sigma\!$.

Definicja

Rozkład Studenta z $\nu \,$ stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej $t \,$ postaci:

$t=\frac{U}{\sqrt{Z}}\sqrt{\nu}$

gdzie:

• $U \,$ jest zmienną losową zestandaryzowaną, czyli mającą standardowy rozkład normalny $N(0,1) \,$,
• $Z \,$ jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o $\nu \,$ stopniach swobody,
• $U \,$ oraz $Z \,$ są zmiennymi losowymi niezależnymi.

Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa $t \,$ określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

$f(t,\nu) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{\nu\pi}}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

gdzie $\Gamma(x) \,$ to funkcja gamma.

Własności

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru $\nu \,$ – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości $\nu \,$ zmierzają do standardowego rozkładu normalnego N(0,1). Dla małych $\nu \,$ różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o $\nu \,$ stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu $\nu - 1$, w szczególności dla $\nu = 1$ rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy'ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody $\nu$ w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego N(0,1).

Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

1. Niech zmienne losowe $X_{1}, X_{2}, ... ,X_{n} \,$ mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej $m \,$ i wariancji $\sigma^{2} \,$ oraz niech zmienna $t \,$ będzie określona wzorem:

   $t=\frac{\overline{X}-m}{s}\cdot\sqrt{n}$

   gdzie $\overline{X}$ jest wartością średnią z próby, zaś $s \,$ - odchyleniem standardowym z próby.

   Wówczas zmienna $t \,$ ma rozkład t-Studenta o $\nu = n-1$ stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji $\sigma^{2}$).

2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach $n_{1}$ oraz $n_{2}$, wartościach średnich $\overline{X}_{1}$ oraz $\overline{X}_{2}$ i wariancjach wyznaczonych z próby $s_{1}^{2}$ oraz $s_{2}^{2}$ zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna t określona wzorem:

   $t=\frac{\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}}{\sqrt{n_{1}s_{1}^{2}+n_{2}s_{2}^{2}}}\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}} {n_{1}+n_{2}}(n_{1}+n_{2}-2)}$

   ma rozkład t-Studenta o $\nu = n_{1}+n_{2}-2$ stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych - gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność $n\leqslant30$).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody $\nu = n-1$ i przyjętego poziomu istotności $\alpha\!$.

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości $t_{\alpha} \,$, że $P(t>t_{\alpha})=\alpha \,$ lub $P(|t|<t_{\alpha})=\alpha . \,$ Wartości te podają tablice rozkładu t-Studenta.

Bibliografia

Tablice statystyczne

• Zieliński R.,’’Tablice statystyczne’’, PWN, Warszawa, 1972

Linki zewnętrzne

• VassarStats Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (ang.). [dostęp 27.05.2009]. (O historii terminu “Rozkład Studenta”)
• Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, t-Studenta, chi-kwadrat oraz F
• Tablice podstawowych rozkładów rachunku prawdopodobieństwa