Rozkład biegunowy operatora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta H nazywamy takie przedstawienie operatora a=u\cdot r, dla którego

  • operator r jest operatorem dodatnim
  •  u=0 na jądrze operatora a^\star
  • u odwzorowuje izometrycznie jądro a na przestrzeń prostopadłą do jądra a^\star.

Przedstawienie takie jest jednoznaczne.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Rozkład biegunowy operatora jest analogią do rozkładu biegunowego liczby zespolonej, tzn. z=e^{i\varphi}r (kolejność analogiczna do powyższego przedstawienia). Komplikacje powyższego rozkładu wynikają stąd, że nie ma czegoś takiego jak operator fazy, tzn. nie można napisać \hat a = e^{i \hat \varphi} \hat r — oznaczenia operatorów zostały dodane dla podkreślenia, że mamy do czynienia nie z liczbami, a operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta (a więc przestrzeni wektorowej), której wymiar w ogólności może być nieskończony.

Szkic dowodu[edytuj | edytuj kod]

Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Dany jest operator ograniczony a ∈ ℬ(H). Operator a*a jest dodatni (a zatem samosprzężony). widmo a*a jest podzbiorem [0, ∞). Stosując ciagły rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych, można zdefiniować operator

r=\sqrt{a^* a}.

W szczególności r* = r, co oznaczam iż dla każdego ξH zachodzi równość

\|r\xi\|^2=\langle r\xi, r\xi \rangle=\langle \xi, r^2\xi\rangle = \langle\xi, a^* a\xi\rangle = \langle \xi, a\xi \rangle = \| a\xi \|^2.

Na mocy tożsamości polaryzacyjnej obrazy r(H) i a(H) są izometryczne. Istnieje zatem taka częściowa izometria u, że

a=u r.\!

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Rozkład biegunowy macierzy odpowiadającej grupie Lorentza bez odbić przestrzennych daje obrót jako (częściową) izometrię oraz pchnięcie jako operator dodatni.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]