Rozkład biegunowy operatora

Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta H nazywamy takie przedstawienie operatora $a=u\cdot r$, dla którego

• operator r jest operatorem dodatnim
• $u=0$ na jądrze operatora $a^\star$
• $u$ odwzorowuje izometrycznie jądro a na przestrzeń prostopadłą do jądra $a^\star$.

Przedstawienie takie jest jednoznaczne.

Motywacja

Rozkład biegunowy operatora jest analogią do rozkładu biegunowego liczby zespolonej, tzn. $z=e^{i\varphi}r$ (kolejność analogiczna do powyższego przedstawienia). Komplikacje powyższego rozkładu wynikają stąd, że nie ma czegoś takiego jak operator fazy, tzn. nie można napisać $\hat a = e^{i \hat \varphi} \hat r$ — oznaczenia operatorów zostały dodane dla podkreślenia, że mamy do czynienia nie z liczbami, a operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta (a więc przestrzeni wektorowej), której wymiar w ogólności może być nieskończony.

Szkic dowodu

Dany jest operator ograniczony $a\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$. Operator $a^\star a$ jest dodatni, samosprzężony. Zatem jego widmo jest podzbiorem $\mathbb{R}_+$ i można zastosować do niego rachunek funkcji ciągłych dla operatorów samosprzężonych. Niech

$r=\sqrt{a^\star a}.$

W szczególności $r^\star = r$, co daje dla każdego $\psi \in \mathcal H$

$||r\psi||^2=(r\psi|r\psi)=(\psi|r^2\psi)=(\psi|a^\star a\psi) =(a\psi|a\psi)=||a\psi||^2.$

Na mocy tożsamości polaryzacyjnej $r \mathcal H$ i $a \mathcal H$ różnią się tylko izometrią. Nie muszą być to całe przestrzenie Hilberta, zatem istnieje pewna częściowa izometria u taka, że

$a=u r.\!$

Przykłady

• Rozkład biegunowy macierzy odpowiadającej grupie Lorentza bez odbić przestrzennych daje obrót jako (częściową) izometrię oraz pchnięcie jako operator dodatni.

Zobacz też

• rozkład macierzy