Rozkład chi

rozkład χ

Parametry	A, B, ν
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta	$F(x) = \Gamma \left( \frac{\nu}{2}, \frac{1}{2} \left( \frac{x-A}{B} \right)^2 \right)$
Wartość oczekiwana (średnia)	$A + \frac{\sqrt{2} B \Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)}$
Mediana	nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych
Moda	$A + B \sqrt{\nu - 1}$
Wariancja	$B^2 \left[ \nu - \frac{2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}{\Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right)} \right]$
Współczynnik skośności	$\frac{\sqrt{2} \left[ 4 \Gamma^3 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) + \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) \left( 2 \Gamma \left( \frac{\nu + 3}{2} \right) - 3 \nu \Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) \right) \right] }{\Gamma^3 \left( \frac{\nu}{2} \right) \left[ \nu - \frac{2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}{\Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right)} \right]^{\frac{3}{2}}}$
Kurtoza	$\frac{2 \nu (1-\nu) \Gamma^4 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 24 \Gamma^4 \left( \frac{\nu+1}{2} \right)} {\left[ \nu \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \right]^2} +$ $+ \frac{8 (2 \nu - 1) \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) \Gamma^2 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)} {\left[ \nu \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \right]^2}$
Entropia
Funkcja generująca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca

Rozkład chi (zapisywany jako rozkład χ) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.

Funkcja prawdopodobieństwa tego rozkładu dana jest wzorem:

$f(x) = \frac {\left( \frac{x-A}{B} \right)^{\nu - 1} e^{- \frac{1}{2} \left( \frac{x-A}{B} \right)^2} } {2^{ \frac{\nu}{2} - 1} B \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)}$

gdzie A, B, ν to parametry rozkładu, zaś Γ oznacza funkcję gamma.

Parametr ν nazywany jest liczbą stopni swobody rozkładu, musi być liczbą większą od 0.

Dystrybuanta funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać:

$F(x) = \Gamma \left( \frac{\nu}{2}, \frac{1}{2} \left( \frac{x-A}{B} \right)^2 \right)$

Własności:

• Jeśli zmienna losowa X ma rozkład chi-kwadrat, to zmienna losowa $\sqrt {X}$ ma rozkład chi.
• Mediana nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych, natomiast skośność i kurtoza wyrażają się wzorami:

Skośność:

$\frac{\sqrt{2} \left[ 4 \Gamma^3 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) + \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) \left( 2 \Gamma \left( \frac{\nu + 3}{2} \right) - 3 \nu \Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) \right) \right] }{\Gamma^3 \left( \frac{\nu}{2} \right) \left[ \nu - \frac{2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}{\Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right)} \right]^{\frac{3}{2}}}$

Kurtoza:

$\frac{2 \nu (1-\nu) \Gamma^4 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 24 \Gamma^4 \left( \frac{\nu+1}{2} \right)} {\left[ \nu \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \right]^2} +$

$+ \frac{8 (2 \nu - 1) \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) \Gamma^2 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)} {\left[ \nu \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \right]^2}$

Specjalne przypadki:

• ν = 1 - rozkład półnormalny
• ν = 2, A = 0 - rozkład Rayleigh'a
• ν = 3, A = 0 - rozkład Maxwella

Zobacz też

• rozkład chi-kwadrat
• rozkład zmiennej losowej
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki