Rozkład logistyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rozkład logistyczny
Gęstość prawdopodobieństwa
{{{opis wykresu}}}
{{{opis wykresu}}}
Dystrybuanta
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
{{{opis wykresu dystrybuanty}}}
Parametry \mu\, parametr położenia (liczba rzeczywista)
s>0\, parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik x \in (-\infty; +\infty)\!
Gęstość prawdopodobieństwa \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!
Dystrybuanta \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!
Wartość oczekiwana (średnia) \mu\,
Mediana \mu\,
Moda \mu\,
Wariancja \frac{\pi^2}{3} s^2\!
Współczynnik skośności 0\,
Kurtoza 6/5\,
Entropia \ln(s)+2\,
Funkcja tworząca momenty e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!
dla |s\,t|<1\!, funkcja beta
Funkcja charakterystyczna e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,
dla |ist|<1\,

Rozkład logistycznyciągły rozkład prawdopodobieństwa używany w szczególności do opisu analitycznego procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.

Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną

l(x) = \frac {g}{1+d \cdot e^{-cx}},

g wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie g \equiv 1, uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:

e^\tfrac{\mu}{s} = d

oraz

\tfrac{1}{s} = c.

Symetria[edytuj | edytuj kod]

Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej \alpha\,, który jest jednocześnie medianą rozkładu.

Kwantyle[edytuj | edytuj kod]

Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:

F^{-1}(p) = \mu - s \ln \left(\frac{p}{1-p}\right).

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nieliniowej metodzie najmniejsczych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ2 = 4 lata2 . Można więc zapisać

\mu =8\, oraz
s = \frac {\sigma \cdot \sqrt 3} {\pi} = \frac {2 \cdot \sqrt 3} {\pi} \approx 1{,}10.

Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:

\mathrm{P}(X > 10) = 1 - \mathrm{P}(X \leqslant 10)= 1 - \frac {1} {1+e^{-\frac {10-8} {1,1}}} = 1 - 0{,}8538 = 0{,}1462.

A więc ok. 15% wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.

Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95% wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.

F^{-1}(0{,}9995) \approx 8 - 1{,}10 \ln \frac{0{,}9995}{1 - 0{,}9995} \approx -0{,}36044.

Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym \mathbb{R}) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.