Rozszerzenie Galois

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozszerzenie Galois – w matematyce rozszerzenie algebraiczne ciała L/K spełniające pewne (niżej opisane) własności. Istotą tego, że rozszerzenie jest Galois jest to, że ma ono grupę Galois, przez co podlega zasadniczemu twierdzeniu teorii Galois.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rozszerzenie algebraiczne ciała L/K jest rozszerzeniem Galois, jeżeli jest normalne i rozdzielcze. Równoważnie można je definiować jako rozszerzenie algebraiczne, którego ciałem stałym względem grupy automorfizmów \operatorname{Aut}(L/K) jest właśnie wyjściowe ciało K.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Definicje niektórych z powyższych pojęć i przykłady można znaleźć w artykule o grupach Galois.

Wynik Emila Artina umożliwia następującą konstrukcję rozszerzeń Galois: jeżeli L jest danym ciałem, a G jest skończoną grupą automorfizmów L, to L/K jest rozszerzeniem Galois, gdzie K to ciało stałe grupy G.

Charakteryzacja[edytuj | edytuj kod]

Ważne twierdzenie Emila Artina mówi, że dla skończonego rozszerzenia L/K każde z następujących zdań jest równoważne stwierdzeniu, iż L/K jest Galois: