Rozszerzenie normalne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozszerzenie normalne - rozszerzenie ciała takie, że dla każdego elementu, który należy do rozszerzenia, a nie należy do ciała, każdy wielomian nierozkładalny, którego ten element jest pierwiaskiem, rozkłada się na czynniki liniowe w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z rozszerzenia. Rozszerzenia normalne odgrywają dużą rolę w teorii Galois.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rozszerzenie L ciała K nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebraiczne i dla każdego b\in L wielomian nierozkładalny f\in K[x], którego pierwiastkiem jest b rozkłada się w L[x] na czynniki liniowe.

Warunki równoważne[edytuj | edytuj kod]

Niech L będzie skończonym rozszerzeniem ciała K. Następujące warunki są równoważne.

  1. L/K jest rozszerzeniem normalnym.
  2. L jest ciałem rozkładu pewnego wielomianu o współczynnikach z ciała K.
  3. Dla każdego zanurzenia \varphi\colon L\to \overline{K}
\varphi(L)=L,

gdzie \overline{K} oznacza algebraiczne domknięcie ciała K.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli K,M,L są ciałami oraz K\subseteq M \subseteq L, a ponadto rozszerzenie L/K jest normalne, to rozszerzenie L/M również.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Rozszerzenie \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q} jest normalne, bo jest ciałem rozkładu wielomianu f(x)=(x^2-2)(x^2-3)\in \mathbb{Q}[x].