Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych: (a) rozszerzenie dwupunktowe (afiniczne), (b) rozszerzenie jednopunktowe (rzutowe); kolorem czerwonym określono liczby dodatnie, niebieskim – ujemne, żółtym – dodane „punkty nieskończone”

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z nich nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.

Rozszerzony na jeden ze wspomnianych sposobów zbiór liczb rzeczywistych staje się zwartą przestrzenią topologiczną (rozszerzenia dają różne topologie), co znajduje zastosowanie przede wszystkim w analizie matematycznej i teorii miary. Przede wszystkim pozwala na rozszerzenie niektórych funkcji na cały zbiór liczb rzeczywistych, przy czym niektóre z nich, dotąd nieciągłe, mogą być wtedy uważane za ciągłe (zob. niżej) oraz co ułatwia spójne traktowanie różnych przypadków upraszczając w ten sposób sformułowania twierdzeń i dowodów. Niepełnemu rozszerzeniu podlegają również niektóre działania (operacje) na „elementy nieskończone” – niepełnemu, gdyż dołączane elementy nie mogą być uważane za liczby, a rozszerzone zbiory liczb rzeczywistych nie są ciałami liczbowymi.

Rozszerzenie afiniczne

Zbiór liczb rzeczywistych $\scriptstyle \mathbb R$ rozszerzony o dwa „punkty nieskończone” $\scriptstyle -\infty$ i $\scriptstyle +\infty$ oznacza się zwykle symbolami $\scriptstyle \overline{\mathbb R}$ lub $\scriptstyle [-\infty, +\infty]$ i nazywa rozszerzeniem dwupunktowym bądź afinicznym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej). Niżej symbol $\scriptstyle \pm\infty$ będzie oznaczał dowolne z wyrażeń $\scriptstyle +\infty$ bądź $\scriptstyle -\infty,$ w szczególności w tejże kolejności, gdy stosowany jest symbol $\scriptstyle \mp\infty$ w którym kolejność symboli jest odwrotna (wykorzystane razem symbole te powinny być wtedy uważane za różnych znaków). Często dla skrócenia zapisu symbol $\scriptstyle +\infty$ zastępuje się symbolem $\scriptstyle \infty,$ należy jednak zaznaczyć, iż różni się on istotnie od symbolu $\scriptstyle \infty$ opisanego dalej. Rozszerzenie afiniczne prostej nie jest przestrzenią afiniczną.

Rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych jest podstawą implementacji komputerowych systemów przekształcania wyrażeń i obliczeń symbolicznych.

Porządek i topologia

W zbiorze $\scriptstyle \overline{\mathbb R}$ zachowana zostaje relacja porządku liniowego, a dla dowolnego elementu $\scriptstyle a \in \mathbb R$ zachodzi $\scriptstyle -\infty < a < +\infty.$ Ponadto każdy podzbiór tego zbioru, w przeciwieństwie do $\scriptstyle \mathbb R,$ ma kres dolny i górny, co sprawia, że rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych staje się kratą zupełną.

Topologia wprowadzona przez relacje porządkującą $\scriptstyle <$ w zbiorze $\scriptstyle \overline{\mathbb R}$ pozwala w szczególności na określenie otoczeń punktów w nieskończoności:

zbiór $\scriptstyle U$ jest otoczeniem punktu $\scriptstyle +\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór $\scriptstyle \{x\colon a < x\}$ dla pewnej liczby $\scriptstyle a \in \mathbb R.$

Analogicznie

zbiór $\scriptstyle V$ nazywa się otoczeniem punktu $\scriptstyle -\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór $\scriptstyle \{x\colon x < a\}$ dla pewnej liczby $\scriptstyle a \in \mathbb R.$

Wspomniana topologia sprawia, że $\scriptstyle \overline{\mathbb R}$ jest zwartą przestrzenią Hausdorffa homeomorficzną z domkniętym przedziałem jednostkowym $\scriptstyle [0, 1].$ Wspomniana przestrzeń jest metryzowalna.

Działania arytmetyczne

Działania arytmetyczne w zbiorze $\scriptstyle \overline\mathbb R$ można rozszerza się w następujący sposób:

$-(+\infty) = -\infty,$

$-(-\infty) = +\infty,$

$c + (+\infty) = +\infty + c = +\infty$ dla $c \ne -\infty,$

$c + (-\infty) = -\infty + c = -\infty$ dla $c \ne +\infty,$

$c \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot c = \pm\infty$ dla $c > 0,$

$c \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot c = \mp\infty$ dla $c < 0,$

$\tfrac{c}{\pm\infty} = 0$ dla $c \ne \pm\infty,$

$|\tfrac{c}{0}| = +\infty$ dla $c \ne 0.$

Uzasadnieniem tych definicji są odpowiednie przejścia graniczne. Wyrażenia $\scriptstyle -\infty + (+\infty),\; +\infty+(-\infty)$ oraz $\scriptstyle 0/0$ pozostają niezdefiniowane, podobnie jak $\scriptstyle 0 \cdot (\pm\infty)$ i $\scriptstyle (\pm\infty) \cdot 0,$ choć dwa ostatnie wyrażenia w teorii miary (oraz korzystającej z niej teorii prawdopodobieństwa) definiowane są jako równe 0.

Prawdziwe pozostają prawa działań arytmetycznych, pod warunkiem jednak, że wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone. To ostatnie zastrzeżenie sprawia, że zbiór $\scriptstyle \overline\mathbb R$ nie jest ciałem ani nawet pierścieniem.

Funkcje, granice, ciągłość

Na zbiór $\scriptstyle \overline\mathbb R$ można rozszerzyć wiele funkcji. Przykładem może być funkcję potęgową $\scriptstyle f(x, y) = x^y,$ gdzie korzystając z odpowiednich granic przyjmuje się następujące definicje:

$(+\infty)^y = \begin{cases} 0 & \mbox { dla } y < 0, \\ {+\infty} & \mbox{ dla } y > 0. \end{cases}$

$x^{+\infty} = \begin{cases} 0 & \mbox { dla } 0 < x < 1, \\ {+\infty} & \mbox{ dla } x > 1. \end{cases}$

$x^{-\infty} = \begin{cases} +\infty & \mbox { dla } 0 < x < 1, \\ 0 & \mbox{ dla } x > 1. \end{cases}$

W podobny sposób wiele innych funkcji, np. funkcję wykładniczą $\scriptstyle \exp,$ logarytmiczną $\scriptstyle \ln,$ czy tangens $\scriptstyle \operatorname{tg}$ itp. Co więcej wspomniane funkcje są ciągłe na całym zbiorze $\scriptstyle \overline{\mathbb R,}$ co upraszcza dowody wielu twierdzeń i stanowi główną motywację dla rozpatrywania rozszerzeń zbioru liczb rzeczywistych.

Rozszerzenie rzutowe

Rzeczywista prosta rzutowa może być postrzegana jako prosta, której „końce” łączą się w nieskończoności tworząc okrąg.

Zbiór liczb rzeczywistych z dodanym jednym „punktem w nieskończoności” $\scriptstyle \infty$ (bez znaku) nazywane jest rozszerzeniem jednopunktowym bądź rzutowym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej) i oznaczane jest najczęściej symbolem $\scriptstyle \mathbb R^*.$ Uzwarcenie to jest minimalne i nosi ono nazwę uzwarcenia Aleksandrowa. Rozszerzenie to jest prostą rzutową (jednowymiarową przestrzenią rzutową), gdyż jego punkty są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z jednowymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi płaszczyzny $\scriptstyle \mathbb R^2;$ z tego powodu konstrukcję tę nazywa się też rzeczywistą prostą rzutową i oznacza $\scriptstyle \mathbb R\mathrm P^1.$

Symbol $\scriptstyle \infty$ reprezentuje „punkt w nieskończoności”, w którym zbiegają się oba „końce” rzeczywistej osi liczbowej. Analogiem zespolonym tego rozszerzenia jest konstrukcja sfery Riemanna rozszerzającej zbiór liczb zespolonych przez uzupełnienie jej pojedynczym punktem w nieskończoności, którą nazywa się również zespoloną prostą rzutową i oznacza $\scriptstyle \mathbb C\mathrm P^1.$

Geometria

Oprócz faktu, iż $\scriptstyle \infty$ jest pełnoprawnym punktem tej przestrzeni, kluczową ideą rzeczywistej prostej rzutowej jest to, że jest ona przestrzenią jednorodną homeomorficzną z okręgiem. Przykładowo ogólna grupa liniowa odwracalnych macierzy typu 2×2 działa na niej przechodnio. Działanie grupy można opisać również za pomocą przekształceń Möbiusa, w których argumenty zerujące się w mianowniku przyjmują w obrazie $\scriptstyle \infty.$

Dokładniejsze przyjrzenie się temu działaniu pokazuje, że dla dowolnych trzech punktów $\scriptstyle P, Q, R$ istnieje przekształcenie homograficzne odwzorowujące te punkty odpowiednio na $\scriptstyle 0, 1, \infty.$ Obserwacji tej nie można rozszerzyć na czwórki punktów z powodu niezmienniczości dwustosunku.

Porządek i topologia

Zbiór $\scriptstyle \mathbb R^*$ jest homeomorficzny z okręgiem (por. rysunek), dlatego niemożliwe jest rozszerzenie relacji porządku na cały zbiór $\scriptstyle \mathbb R^*,$ tzn. dla dowolnego $\scriptstyle x \in \mathbb R^*$ nie można powiedzieć ani, że $\scriptstyle x < \infty,$ ani też że $\scriptstyle x > \infty.$ Jednak relacja porządku $\scriptstyle <$ w zbiorze $\scriptstyle \mathbb R$ jest stosowana w niektórych definicjach obiektów w zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*.$

Pojęcie przedziału można rozszerzyć na zbiór $\scriptstyle \mathbb R^*,$ jednak ponieważ relacja porządku nie obejmuje punktu $\scriptstyle \infty,,$ to przedziały muszą być zdefiniowane w nieco inny sposób niż w zbiorze liczb rzeczywistych $\scriptstyle \mathbb R.$ Dla dowolnych $\scriptstyle a,b \in \mathbb R,$ przy czym $\scriptstyle a < b,$ przyjmuje się następujące definicje przedziałów domkniętych:

$[a, a] = \{a\},$

$[a, b] = \{x\colon x \in \mathbb R,; a \leqslant x \leqslant b\},$

$[a, \infty] = \{x\colon x\in R,\; a \leqslant x\} \cup \{\infty\},$

$[b, a]=\{x\colon x \in \mathbb R,; b \leqslant x\} \cup \{\infty\} \cup \{x\colon x \in \mathbb R,\; x \leqslant a\},$

$[\infty, a] = \{\infty\} \cup \{x\colon x \in \mathbb R,\; x \leqslant a\},$

$[\infty, \infty] = \{\infty\}.$

Analogicznie definiuje się przedziały otwartych i półotwartych. Na przedziałach można także określić operacje arytmetyczne – w szczególności dla każdych dwóch punktów $\scriptstyle a, b \in \mathbb R^*$ można przyjąć

$x \in [a,b] \Leftrightarrow \tfrac{1}{x} \in \left[\tfrac{1}{b}, \tfrac{1}{a}\right]$

nawet wtedy, gdy przedziały zawierają 0.

Przedziały otwarte stanowią bazę topologii zbioru $\scriptstyle \mathbb R^*.$ W topologii tej zbiór $\scriptstyle \mathbb R^*$ jest przestrzenią zwartą, homeomorficzną z okręgiem. Jest to zatem przestrzeń metryzowalna, a odpowiednie metryki odpowiadają metrykom okręgu. Nie istnieje w $\scriptstyle \mathbb R^*$ taka metryka, która byłaby rozszerzeniem standardowej metryki zbioru $\scriptstyle \mathbb R,$ tzn. metryki euklidesowej.

Działania arytmetyczne

Rozszerzenie operacji arytmetycznych na cały zbiór $\scriptstyle \mathbb R^*$ można przeprowadzić tylko dla niektórych z nich – są one umotywowane odpowiednimi własnościami granic funkcji rzeczywistych:

$-(\infty) = \infty,$

$c + \infty = \infty + c = \infty$ dla $c \ne \infty,$

$c \cdot \infty = \infty\cdot c = \infty$ dla $c \ne 0,$

$\tfrac{c}{\infty} = 0$ dla $c \ne \infty,$

$\tfrac{c}{0} = \infty$ dla $c \ne 0.$

Należy zaznaczyć, że ostatnia operacja jest nieokreślona w zbiorze $\scriptstyle \overline{\mathbb R}.$

Działania $\scriptstyle \infty/\infty,\; 0/0,\; \infty + \infty$ oraz $\scriptstyle 0 \cdot \infty$ są w zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*$ nieokreślone. Prawa działań arytmetycznych pozostają prawdziwe w zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*,$ o ile wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone.

Funkcje, granice, ciągłość

Opierając się na rozszerzonych w opisany wyżej sposób definicjach przedziałów można określić pojęcia granicy i ciągłości funkcji na całym zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*.$

W zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*$ funkcje wykładnicza $\scriptstyle \exp$ i logarytmiczna $\scriptstyle \ln$ są nieciągłe w punkcie $\scriptstyle \infty,$ natomiast można wykazać, że funkcje wymierne $\scriptstyle P(x)/Q(x),$ gdzie $\scriptstyle P(x)$ i $\scriptstyle Q(x)$ są funkcjami wielomianowymi niemającymi wspólnego czynnika, są ciągłe w zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*,$ w szczególności ciągła jest funkcja homograficzna $\scriptstyle h(x) = 1/x,$ podobnie ciągła jest funkcja tangensa $\scriptstyle \operatorname{tg},$ jeżeli przyjąć definicję:

$\operatorname{tg}\left(\tfrac{\pi}{2} + k\pi\right) = \infty$

Porównanie

Funkcja homograficzna $\scriptstyle h(x) = 1/x$ nie jest ciągła w zbiorze $\scriptstyle \overline{\mathbb R},$ gdyż jej wartości dążą do $\scriptstyle +\infty$ dla $\scriptstyle x \to 0^+,$ podczas gdy $\scriptstyle x \to 0^-,$ to dążą one do $\scriptstyle -\infty.$ Utożsamiając w zbiorze $\scriptstyle \overline{\mathbb R}$ symbole $\scriptstyle +\infty$ oraz $\scriptstyle -\infty$ uzyskuje się zbiór $\scriptstyle \mathbb R^*.$ W ten sposób funkcja $\scriptstyle h(x)$ może być uznana za ciągłą w całym zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*.$ Podobna sytuacja dotyczy wszystkich funkcji wymiernych. Z drugiej strony wyrażenia

$L_1 = \lim_{x \to -\infty}~f(x)$

oraz

$L_2 = \lim_{x \to +\infty}~f(x)$

w zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*$ są w istocie jedynie granicami jednostronnymi, zaś granica funkcji $\scriptstyle f(x)$ w punkcie $\scriptstyle x = \infty$ istnieje tylko wtedy, gdy $\scriptstyle L_1 = L_2.$ W zbiorze $\scriptstyle \overline\mathbb R$ każde z nich musi być uważane za granicę rozważaną w innym punkcie. Z tego powodu funkcje takie, jak $\scriptstyle \exp,$ czy $\scriptstyle \operatorname{arctg}$ można uznać za funkcje ciągłe na całym zbiorze $\scriptstyle \overline\mathbb R,$ nie można ich natomiast określić w sposób ciągły na całym zbiorze $\scriptstyle \mathbb R^*.$

Bibliografia

• William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Wyd. 2. T. 2. Warszawa: PWN, 1978, s. 103 i nast..
• Krzysztof Maurin: Analiza. Wyd. 2. Cz. 2: Ogólne struktury, funkcje algebraiczne, całkowanie, analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1991, s. 386. ISBN 83-01-09941-0.
• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1986, s. 15. ISBN 83-01-05124-8.

Zobacz też

• symbol nieoznaczony
• dzielenie przez zero
• nieskończoność
• granica
• sfera Riemanna

Linki zewnętrzne

• Projectively Extended Real Numbers (ang.) – rozszerzenie jednopunktowe
• Affinitely Extended Real Numbers (ang.) – rozszerzenie dwupunktowe