Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych: (a) rozszerzenie dwupunktowe (afiniczne), (b) rozszerzenie jednopunktowe (rzutowe); kolorem czerwonym określono liczby dodatnie, niebieskim – ujemne, żółtym – dodane „punkty nieskończone”

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z nich nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.

Rozszerzony na jeden ze wspomnianych sposobów zbiór liczb rzeczywistych staje się zwartą przestrzenią topologiczną (rozszerzenia dają różne topologie), co znajduje zastosowanie przede wszystkim w analizie matematycznej i teorii miary. Przede wszystkim pozwala na rozszerzenie niektórych funkcji na cały zbiór liczb rzeczywistych, przy czym niektóre z nich, dotąd nieciągłe, mogą być wtedy uważane za ciągłe (zob. niżej) oraz co ułatwia spójne traktowanie różnych przypadków upraszczając w ten sposób sformułowania twierdzeń i dowodów. Niepełnemu rozszerzeniu podlegają również niektóre działania (operacje) na „elementy nieskończone” – niepełnemu, gdyż dołączane elementy nie mogą być uważane za liczby, a rozszerzone zbiory liczb rzeczywistych nie są ciałami liczbowymi.

Rozszerzenie afiniczne[edytuj | edytuj kod]

Zbiór liczb rzeczywistych \scriptstyle \mathbb R rozszerzony o dwa „punkty nieskończone” \scriptstyle -\infty i \scriptstyle +\infty oznacza się zwykle symbolami \scriptstyle \overline{\mathbb R} lub \scriptstyle [-\infty, +\infty] i nazywa rozszerzeniem dwupunktowym bądź afinicznym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej). Niżej symbol \scriptstyle \pm\infty będzie oznaczał dowolne z wyrażeń \scriptstyle +\infty bądź \scriptstyle -\infty, w szczególności w tejże kolejności, gdy stosowany jest symbol \scriptstyle \mp\infty w którym kolejność symboli jest odwrotna (wykorzystane razem symbole te powinny być wtedy uważane za różnych znaków). Często dla skrócenia zapisu symbol \scriptstyle +\infty zastępuje się symbolem \scriptstyle \infty, należy jednak zaznaczyć, iż różni się on istotnie od symbolu \scriptstyle \infty opisanego dalej. Rozszerzenie afiniczne prostej nie jest przestrzenią afiniczną.

Rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych jest podstawą implementacji komputerowych systemów przekształcania wyrażeń i obliczeń symbolicznych.

Porządek i topologia[edytuj | edytuj kod]

W zbiorze \scriptstyle \overline{\mathbb R} zachowana zostaje relacja porządku liniowego, a dla dowolnego elementu \scriptstyle a \in \mathbb R zachodzi \scriptstyle -\infty < a < +\infty. Ponadto każdy podzbiór tego zbioru, w przeciwieństwie do \scriptstyle \mathbb R, ma kres dolny i górny, co sprawia, że rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych staje się kratą zupełną.

Topologia wprowadzona przez relacje porządkującą \scriptstyle < w zbiorze \scriptstyle \overline{\mathbb R} pozwala w szczególności na określenie otoczeń punktów w nieskończoności:

zbiór \scriptstyle U jest otoczeniem punktu \scriptstyle +\infty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór \scriptstyle \{x\colon a < x\} dla pewnej liczby \scriptstyle a \in \mathbb R.

Analogicznie

zbiór \scriptstyle V nazywa się otoczeniem punktu \scriptstyle -\infty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór \scriptstyle \{x\colon x < a\} dla pewnej liczby \scriptstyle a \in \mathbb R.

Wspomniana topologia sprawia, że \scriptstyle \overline{\mathbb R} jest zwartą przestrzenią Hausdorffa homeomorficzną z domkniętym przedziałem jednostkowym \scriptstyle [0, 1]. Wspomniana przestrzeń jest metryzowalna.

Działania arytmetyczne[edytuj | edytuj kod]

Działania arytmetyczne w zbiorze \scriptstyle \overline\mathbb R można rozszerza się w następujący sposób:

-(+\infty) = -\infty,
-(-\infty) = +\infty,
c + (+\infty) = +\infty + c = +\infty dla c \ne -\infty,
c + (-\infty) = -\infty + c = -\infty dla c \ne +\infty,
c \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot c = \pm\infty dla c > 0,
c \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot c = \mp\infty dla c < 0,
\tfrac{c}{\pm\infty} = 0 dla c \ne \pm\infty,
|\tfrac{c}{0}| = +\infty dla c \ne 0.

Uzasadnieniem tych definicji są odpowiednie przejścia graniczne. Wyrażenia \scriptstyle -\infty + (+\infty),\; +\infty+(-\infty) oraz \scriptstyle 0/0 pozostają niezdefiniowane, podobnie jak \scriptstyle 0 \cdot (\pm\infty) i \scriptstyle (\pm\infty) \cdot 0, choć dwa ostatnie wyrażenia w teorii miary (oraz korzystającej z niej teorii prawdopodobieństwa) definiowane są jako równe 0.

Prawdziwe pozostają prawa działań arytmetycznych, pod warunkiem jednak, że wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone. To ostatnie zastrzeżenie sprawia, że zbiór \scriptstyle \overline\mathbb R nie jest ciałem ani nawet pierścieniem.

Funkcje, granice, ciągłość[edytuj | edytuj kod]

Na zbiór \scriptstyle \overline\mathbb R można rozszerzyć wiele funkcji. Przykładem może być funkcję potęgową \scriptstyle f(x, y) = x^y, gdzie korzystając z odpowiednich granic przyjmuje się następujące definicje:

(+\infty)^y = \begin{cases} 0 & \mbox { dla } y < 0, \\ {+\infty} & \mbox{ dla } y > 0. \end{cases}
x^{+\infty} = \begin{cases} 0 & \mbox { dla } 0 < x < 1, \\ {+\infty} & \mbox{ dla } x > 1. \end{cases}
x^{-\infty} = \begin{cases} +\infty & \mbox { dla } 0 < x < 1, \\ 0 & \mbox{ dla } x > 1. \end{cases}

W podobny sposób wiele innych funkcji, np. funkcję wykładniczą \scriptstyle \exp, logarytmiczną \scriptstyle \ln, czy tangens \scriptstyle \operatorname{tg} itp. Co więcej wspomniane funkcje są ciągłe na całym zbiorze \scriptstyle \overline{\mathbb R,} co upraszcza dowody wielu twierdzeń i stanowi główną motywację dla rozpatrywania rozszerzeń zbioru liczb rzeczywistych.

Rozszerzenie rzutowe[edytuj | edytuj kod]

Rzeczywista prosta rzutowa może być postrzegana jako prosta, której „końce” łączą się w nieskończoności tworząc okrąg.

Zbiór liczb rzeczywistych z dodanym jednym „punktem w nieskończoności” \scriptstyle \infty (bez znaku) nazywane jest rozszerzeniem jednopunktowym bądź rzutowym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej) i oznaczane jest najczęściej symbolem \scriptstyle \mathbb R^*. Uzwarcenie to jest minimalne i nosi ono nazwę uzwarcenia Aleksandrowa. Rozszerzenie to jest prostą rzutową (jednowymiarową przestrzenią rzutową), gdyż jego punkty są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z jednowymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi płaszczyzny \scriptstyle \mathbb R^2; z tego powodu konstrukcję tę nazywa się też rzeczywistą prostą rzutową i oznacza \scriptstyle \mathbb R\mathrm P^1.

Symbol \scriptstyle \infty reprezentuje „punkt w nieskończoności”, w którym zbiegają się oba „końce” rzeczywistej osi liczbowej. Analogiem zespolonym tego rozszerzenia jest konstrukcja sfery Riemanna rozszerzającej zbiór liczb zespolonych przez uzupełnienie jej pojedynczym punktem w nieskończoności, którą nazywa się również zespoloną prostą rzutową i oznacza \scriptstyle \mathbb C\mathrm P^1.

Geometria[edytuj | edytuj kod]

Oprócz faktu, iż \scriptstyle \infty jest pełnoprawnym punktem tej przestrzeni, kluczową ideą rzeczywistej prostej rzutowej jest to, że jest ona przestrzenią jednorodną homeomorficzną z okręgiem. Przykładowo ogólna grupa liniowa odwracalnych macierzy typu 2×2 działa na niej przechodnio. Działanie grupy można opisać również za pomocą przekształceń Möbiusa, w których argumenty zerujące się w mianowniku przyjmują w obrazie \scriptstyle \infty.

Dokładniejsze przyjrzenie się temu działaniu pokazuje, że dla dowolnych trzech punktów \scriptstyle P, Q, R istnieje przekształcenie homograficzne odwzorowujące te punkty odpowiednio na \scriptstyle 0, 1, \infty. Obserwacji tej nie można rozszerzyć na czwórki punktów z powodu niezmienniczości dwustosunku.

Porządek i topologia[edytuj | edytuj kod]

Zbiór \scriptstyle \mathbb R^* jest homeomorficzny z okręgiem (por. rysunek), dlatego niemożliwe jest rozszerzenie relacji porządku na cały zbiór \scriptstyle \mathbb R^*, tzn. dla dowolnego \scriptstyle x \in \mathbb R^* nie można powiedzieć ani, że \scriptstyle x < \infty, ani też że \scriptstyle x > \infty. Jednak relacja porządku \scriptstyle < w zbiorze \scriptstyle \mathbb R jest stosowana w niektórych definicjach obiektów w zbiorze \scriptstyle \mathbb R^*.

Pojęcie przedziału można rozszerzyć na zbiór \scriptstyle \mathbb R^*, jednak ponieważ relacja porządku nie obejmuje punktu \scriptstyle \infty,, to przedziały muszą być zdefiniowane w nieco inny sposób niż w zbiorze liczb rzeczywistych \scriptstyle \mathbb R. Dla dowolnych \scriptstyle a,b \in \mathbb R, przy czym \scriptstyle a < b, przyjmuje się następujące definicje przedziałów domkniętych:

[a, a] = \{a\},
[a, b] = \{x\colon x \in \mathbb R,; a \leqslant x \leqslant b\},
[a, \infty] = \{x\colon x\in R,\; a \leqslant x\} \cup \{\infty\},
[b, a]=\{x\colon x \in \mathbb R,; b \leqslant x\} \cup \{\infty\} \cup \{x\colon x \in \mathbb R,\; x \leqslant a\},
[\infty, a] = \{\infty\} \cup \{x\colon x \in \mathbb R,\; x \leqslant a\},
[\infty, \infty] = \{\infty\}.

Analogicznie definiuje się przedziały otwartych i półotwartych. Na przedziałach można także określić operacje arytmetyczne – w szczególności dla każdych dwóch punktów \scriptstyle a, b \in \mathbb R^* można przyjąć

x \in [a,b] \Leftrightarrow \tfrac{1}{x} \in \left[\tfrac{1}{b}, \tfrac{1}{a}\right]

nawet wtedy, gdy przedziały zawierają 0.

Przedziały otwarte stanowią bazę topologii zbioru \scriptstyle \mathbb R^*. W topologii tej zbiór \scriptstyle \mathbb R^* jest przestrzenią zwartą, homeomorficzną z okręgiem. Jest to zatem przestrzeń metryzowalna, a odpowiednie metryki odpowiadają metrykom okręgu. Nie istnieje w \scriptstyle \mathbb R^* taka metryka, która byłaby rozszerzeniem standardowej metryki zbioru \scriptstyle \mathbb R, tzn. metryki euklidesowej.

Działania arytmetyczne[edytuj | edytuj kod]

Rozszerzenie operacji arytmetycznych na cały zbiór \scriptstyle \mathbb R^* można przeprowadzić tylko dla niektórych z nich – są one umotywowane odpowiednimi własnościami granic funkcji rzeczywistych:

-(\infty) = \infty,
c + \infty = \infty + c = \infty dla c \ne \infty,
c \cdot \infty = \infty\cdot c = \infty dla c \ne 0,
\tfrac{c}{\infty} = 0 dla c \ne \infty,
\tfrac{c}{0} = \infty dla c \ne 0.

Należy zaznaczyć, że ostatnia operacja jest nieokreślona w zbiorze \scriptstyle \overline{\mathbb R}.

Działania \scriptstyle \infty/\infty,\; 0/0,\; \infty + \infty oraz \scriptstyle 0 \cdot \infty są w zbiorze \scriptstyle \mathbb R^* nieokreślone. Prawa działań arytmetycznych pozostają prawdziwe w zbiorze \scriptstyle \mathbb R^*, o ile wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone.

Funkcje, granice, ciągłość[edytuj | edytuj kod]

Opierając się na rozszerzonych w opisany wyżej sposób definicjach przedziałów można określić pojęcia granicy i ciągłości funkcji na całym zbiorze \scriptstyle \mathbb R^*.

W zbiorze \scriptstyle \mathbb R^* funkcje wykładnicza \scriptstyle \exp i logarytmiczna \scriptstyle \ln są nieciągłe w punkcie \scriptstyle \infty, natomiast można wykazać, że funkcje wymierne \scriptstyle P(x)/Q(x), gdzie \scriptstyle P(x) i \scriptstyle Q(x)funkcjami wielomianowymi niemającymi wspólnego czynnika, są ciągłe w zbiorze \scriptstyle \mathbb R^*, w szczególności ciągła jest funkcja homograficzna \scriptstyle h(x) = 1/x, podobnie ciągła jest funkcja tangensa \scriptstyle \operatorname{tg}, jeżeli przyjąć definicję:

\operatorname{tg}\left(\tfrac{\pi}{2} + k\pi\right) = \infty

Porównanie[edytuj | edytuj kod]

Funkcja homograficzna \scriptstyle h(x) = 1/x nie jest ciągła w zbiorze \scriptstyle \overline{\mathbb R}, gdyż jej wartości dążą do \scriptstyle +\infty dla \scriptstyle x \to 0^+, podczas gdy \scriptstyle x \to 0^-, to dążą one do \scriptstyle -\infty. Utożsamiając w zbiorze \scriptstyle \overline{\mathbb R} symbole \scriptstyle +\infty oraz \scriptstyle -\infty uzyskuje się zbiór \scriptstyle \mathbb R^*. W ten sposób funkcja \scriptstyle h(x) może być uznana za ciągłą w całym zbiorze \scriptstyle \mathbb R^*. Podobna sytuacja dotyczy wszystkich funkcji wymiernych. Z drugiej strony wyrażenia

L_1 = \lim_{x \to -\infty}~f(x)

oraz

L_2 = \lim_{x \to +\infty}~f(x)

w zbiorze \scriptstyle \mathbb R^* są w istocie jedynie granicami jednostronnymi, zaś granica funkcji \scriptstyle f(x) w punkcie \scriptstyle x = \infty istnieje tylko wtedy, gdy \scriptstyle L_1 = L_2. W zbiorze \scriptstyle \overline\mathbb R każde z nich musi być uważane za granicę rozważaną w innym punkcie. Z tego powodu funkcje takie, jak \scriptstyle \exp, czy \scriptstyle \operatorname{arctg} można uznać za funkcje ciągłe na całym zbiorze \scriptstyle \overline\mathbb R, nie można ich natomiast określić w sposób ciągły na całym zbiorze \scriptstyle \mathbb R^*.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy